Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U không đổi tần số f = 50Hz vào hai đầu đoạn mạch nối tiếp gồm biến trở R, cuộn dây không thuần cảm có r = 30Ω độ tự cảm $L=\frac{1,2}{\pi }H.$ Tụ có điện dung $C=\frac{{10}^{-4}}{\pi }F.$ Gọi P là tổng công suất trên biến trở và trên mạch. Hình bên là một phần đồ thị P theo R. Khi biến trở có giá trị R₁ thì tổng hệ số công suất trên cuộn dây và trên mạch gần nhất giá trị nào sau? 

Phương pháp: + Sử dụng biểu thức tính công suất: $P=I^{2}R$

                         + Sử dụng BĐT Cosi 

                         + Sử dụng biểu thức tính hệ số công suất:  $\cos \phi =\frac{R}{Z}$

Cách giải: 

Ta có:$\left\{\begin{array}{l}r=30\Omega \\ Z_L=120\Omega \\ Z_C=100\Omega \end{array}\right.$

Công suất trên biến trở: $P_R=I^{2}R=\frac{U^2}{{(R+r)}^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}R$

Công suất trên mạch: $P^{\text{'}}=I^2(R+r)=\frac{U^2}{{(R+r)}^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}(R+r)$

Ta có: $P=P_R+P^{\text{'}}=\frac{U^2}{{(R+r)}^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}(2R+r)$ $\Rightarrow P=\frac{U^2}{{(R+30)}^2+{20}^2}(2R+30)$

$\Rightarrow P=\frac{U^2}{R^2+60R+1300}2(R+15)$

$\Rightarrow P=\frac{U^2}{\left(R^2+30R+{15}^2\right)+30(R+15)+625}2(R+15)$

 $\Rightarrow P=\frac{2U^2}{(R+15)+\frac{625}{R+15}+30}$

Ta có: $P_{\max } khi {\left[(R+15)+\frac{625}{(R+15)}\right]}_{\min }$

Lại có: $(R+15)+\frac{625}{R+15}\ge 2\sqrt{(R+15)\frac{625}{(R+15)}}=50$

Dấu = xảy ra khi $(R+15)=\frac{625}{R+15}\Rightarrow R=10\Omega$

Từ đồ thị ta có: $\frac{R_1}{R}=\frac{7}{5}\Rightarrow R_1=\frac{7}{5}R=\frac{7}{5}.10=14\Omega$

Khi $R=R_1=14\Omega :$

+ Tổng trở: $Z=\sqrt{{\left(R_1+r\right)}^2+{\left(Z_L-Z_C\right)}^2}=\sqrt{{(14+30)}^2+{20}^2}=4\sqrt{146}\Omega$

+ Hệ số công suất trên cuộn dây: $\cos {\phi }_d=\frac{r}{Z}=\frac{30}{4\sqrt{146}}$

+ Hệ số công suát trên mạch: $\cos \phi =\frac{R_1+r}{Z}=\frac{14+30}{4\sqrt{146}}$

Tổng hệ số công suất trên cuộn dây và trên mạch: $\frac{30}{4\sqrt{146}}+\frac{44}{4\sqrt{146}}=1,531$