Trên mặt nước, hai nguồn kết hợp được đặt ở A và B cách nhau 14cm, dao động điều  hòa cùng tần số, cùng pha, theo phương vuông góc với mặt nước. Sóng truyền trên mặt nước với bước sóng  0,9cm. Điểm M nằm trên đoạn AB cách A một đoạn 6cm. Ax, By là hai nửa đường thẳng trên mặt nước, cùng  một phía so với AB và vuông góc với AB. Cho điểm C di chuyển trên Ax và điểm D di chuyển trên By sao cho MC luôn vuông góc với MD. Khi diện tích tam giác MCD có giá trị nhỏ nhất thì số điểm dao động với  biên độ cực đại trên MD

Phương pháp: 

+ Sử dụng biểu thức tính diện tích tam giác: \({S_\Delta } = \frac{1}{2}ab\)

+ Sử dụng BĐT Cosi: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

+ Sử dụng điều kiện xảy ra cực đại giao thoa giữa 2 nguồn cùng pha: \({d_2} - {d_1} = k\lambda \)

Cách giải: 

Ta có: \({S_{\Delta M{\rm{D}}}} = {S_{AB{\rm{DC}}}} - {S_{ACM}} - {S_{B{\rm{DM}}}}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta MCD}} = \frac{{(AC + BD)AB}}{2} - \frac{{AC \cdot AM}}{2} - \frac{{DB \cdot BM}}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta MCD}} = \frac{{(x + y) \cdot 14}}{2} - \frac{{x.6}}{2} - \frac{{y.8}}{2} = 4x + 3y\)

Lại có: $\alpha \mathrm{ }+\beta \mathrm{ }={90}^0\Rightarrow \tan \alpha \mathrm{ }=\cot \beta \mathrm{ }\iff \frac{AC}{AM}=\frac{MB}{DB}$

\( \Rightarrow \frac{x}{6} = \frac{8}{y} \Rightarrow xy = 48 \Rightarrow 4x.3y = 48.12 = 576\)

Áp dụng BĐT Cosi, ta có: $S_{\mathrm{\Delta }MCD}=4x+3y\ge 2\sqrt{4x.3y}\mathrm{ }=2\sqrt{576}\mathrm{ }=48$

Dấu “=” xảy ra khi \(4x = 3y\)

Khi đó $S_{\mathrm{\Delta }MCD}\left(\min \right)=48c{m}^2 và \left\{\begin{array}{l}4\mathrm{x}=3\mathrm{y}\\ 4\mathrm{x}+3\mathrm{y}=48\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=6cm\\ y=8cm\end{array}\right.$

Xét tại M, có: \(MB - MA = 8 - 6 = 2\;{\rm{cm}}\)

Xét tại D, có: $DB-DA=y-\sqrt{y^2+A{B}^2}\mathrm{ }\Rightarrow DB-DA=8-\sqrt{8^2+{14}^2}\mathrm{ }=\mathrm{ }-8,12\mathrm{cm}$

Số điểm dao động cực đại trên MD thỏa mãn:  

$DB-DA<d_1-d_1=k\lambda \mathrm{ }<MB-MA\iff \mathrm{ }-8,12<k.0,9<2\Rightarrow \mathrm{ }-9,02<k<2,22\Rightarrow k=\mathrm{ }-9,-8,\mathrm{\dots },0,1,2$

Vậy trên MD có 12 điểm dao động với biên độ cực đại. 

Chọn C.