Câu hỏi:
04/06/2022 148
Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AD\] đôi một vuông góc với \[AB = 6a\], \[AC = 9a\], \[AD = 3a\]. Gọi \[M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} P\] lần lượt là trọng tâm các tam giác \[ABC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ACD,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ADB\]. Thể tích của khối tứ diện \[AMNP\] bằng:
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
- Gọi \[{M_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {N_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {P_1}\] lần lượt là trung điểm của \[BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CD,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD\], sử dụng công thức tỉ lệ thể tích Simpson, so sánh \[{V_{AMNP}}\] và \[{V_{A{M_1}{N_1}{P_1}}}\].
- Tiếp tục so sánh thể tích hai khối chóp có cùng chiều cao \[A.{M_1}{N_1}{P_1}\] và \[A.BCD\], sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số diện tích hai đáy.
- Tính thể tích khối tứ diện \[ABCD\] là \[{V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD\], từ đó tính được \[{V_{AMNP}}\].
Giải chi tiết:
![Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AD\] đôi một vuông góc với \[AB = 6a\], \[AC = 9a\], \[AD = 3a\]. Gọi \[M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} P\] lần lượt là trọng tâm các tam giác (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/06/2-1654348311.png)
Gọi \[{M_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {N_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {P_1}\] lần lượt là trung điểm của \[BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CD,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD\], ta có \[\frac{{AM}}{{A{M_1}}} = \frac{{AN}}{{A{N_1}}} = \frac{{AP}}{{A{P_1}}} = \frac{2}{3}\].
Khi đó \[\frac{{{V_{AMNP}}}}{{{V_{A{M_1}{N_1}{P_1}}}}} = \frac{{AM}}{{A{M_1}}}.\frac{{AN}}{{A{N_1}}}.\frac{{AP}}{{A{P_1}}} = \frac{8}{{27}}\].
Dễ thấy \[\Delta {M_1}{N_1}{P_1}\] đồng dạng với tam giác \[DBC\] theo tỉ số \[k = \frac{1}{2}\] nên \[\frac{{{S_{{M_1}{N_1}{P_1}}}}}{{{S_{DBC}}}} = \frac{1}{4}\].
Mà hai khối chóp \[A.{M_1}{N_1}{P_1}\] và \[A.BCD\] có dùng chiều cao nên \[\frac{{{V_{A.{M_1}{N_1}{P_1}}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{{S_{{M_1}{N_1}{P_1}}}}}{{{S_{DBC}}}} = \frac{1}{4}\].
Lại có \[{V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD = \frac{1}{6}.6a.9a.3a = 27{a^3}\] \[ \Rightarrow {V_{A.{M_1}{N_1}{P_1}}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD}} = \frac{{27{a^3}}}{4}\]
Vậy \[{V_{AMNP}} = \frac{8}{{27}}{V_{A{M_1}{N_1}{P_1}}} = \frac{8}{{27}}.\frac{{27{a^3}}}{4} = 2{a^3}\].
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Luyện gang từ 10 tấn quặng hematit chứa 64% Fe2O3 thu được m tấn gang chứa 2,5% cacbon và tạp chất, hiệu suất của quá trình sản xuất là 85%. (Biết C = 12; O = 16; Fe = 56). Giá trị của m là
Xem đáp án »
05/06/2022
3,584
Câu 4:
“Dưới bóng tre của ngàn xưa, thấp thoáng mái đình, mái chùa cổ kính”, xác định chủ ngữ trong câu trên:
Xem đáp án »
03/06/2022
3,318
Câu 5:
Muốn bơm nước từ một giếng sâu 15m lên mặt đất người ta dùng một máy bơm nước có công suất 2HP, hiệu suất 50%. Tính lượng nước bơm được trong 1 giờ? Biết khối lượng riêng của nước là \[D = 1000kg/{m^3}\] và \[1HP = 736W\]. Lấy \[g = 10m/{s^2}\].
Xem đáp án »
05/06/2022
2,877
về câu hỏi!