Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AD\] đôi một vuông góc với \[AB = 6a\], \[AC = 9a\], \[AD = 3a\]. Gọi \[M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} P\] lần lượt là trọng tâm các tam giác \[ABC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ACD,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ADB\]. Thể tích của khối tứ diện \[AMNP\] bằng:

Phương pháp giải:

- Gọi \[{M_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {N_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {P_1}\] lần lượt là trung điểm của \[BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CD,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD\], sử dụng công thức tỉ lệ thể tích Simpson, so sánh \[{V_{AMNP}}\] và \[{V_{A{M_1}{N_1}{P_1}}}\].

- Tiếp tục so sánh thể tích hai khối chóp có cùng chiều cao \[A.{M_1}{N_1}{P_1}\] và \[A.BCD\], sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số diện tích hai đáy.

- Tính thể tích khối tứ diện \[ABCD\] là \[{V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD\], từ đó tính được \[{V_{AMNP}}\].

Giải chi tiết:

Gọi \[{M_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {N_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {P_1}\] lần lượt là trung điểm của \[BC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} CD,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BD\], ta có \[\frac{{AM}}{{A{M_1}}} = \frac{{AN}}{{A{N_1}}} = \frac{{AP}}{{A{P_1}}} = \frac{2}{3}\].

Khi đó \[\frac{{{V_{AMNP}}}}{{{V_{A{M_1}{N_1}{P_1}}}}} = \frac{{AM}}{{A{M_1}}}.\frac{{AN}}{{A{N_1}}}.\frac{{AP}}{{A{P_1}}} = \frac{8}{{27}}\].

Dễ thấy \[\Delta {M_1}{N_1}{P_1}\] đồng dạng với tam giác \[DBC\] theo tỉ số \[k = \frac{1}{2}\] nên \[\frac{{{S_{{M_1}{N_1}{P_1}}}}}{{{S_{DBC}}}} = \frac{1}{4}\].

Mà hai khối chóp \[A.{M_1}{N_1}{P_1}\] và \[A.BCD\] có dùng chiều cao nên \[\frac{{{V_{A.{M_1}{N_1}{P_1}}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{{S_{{M_1}{N_1}{P_1}}}}}{{{S_{DBC}}}} = \frac{1}{4}\].

Lại có \[{V_{ABCD}} = \frac{1}{6}AB.AC.AD = \frac{1}{6}.6a.9a.3a = 27{a^3}\] \[ \Rightarrow {V_{A.{M_1}{N_1}{P_1}}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD}} = \frac{{27{a^3}}}{4}\]

Vậy \[{V_{AMNP}} = \frac{8}{{27}}{V_{A{M_1}{N_1}{P_1}}} = \frac{8}{{27}}.\frac{{27{a^3}}}{4} = 2{a^3}\].