Cho hai số thực \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\] thỏa mãn \[{\log _{100}}a = {\log _{40}}b = {\log _{16}}\frac{{a - 4b}}{{12}}\]. Giá trị \[\frac{a}{b}\] bằng:

Phương pháp giải:

- Đặt \[t = {\log _{100}}a = {\log _{40}}b = {\log _{16}}\frac{{a - 4b}}{{12}}\], rút \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b\] theo t.

- Rút ra phương trình ẩn t, sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình mũ.

- Tìm \[{\left( {\frac{2}{5}} \right)^t}\] và suy ra giá trị \[\frac{a}{b}\].

Giải chi tiết:

Đặt \[t = {\log _{100}}a = {\log _{40}}b = {\log _{16}}\frac{{a - 4b}}{{12}}\], ta có: \[a = {100^t},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = {40^t},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{a - 4b}}{{12}} = {16^t}\].

Suy ra

\[\frac{{{{100}^t} - {{4.40}^t}}}{{12}} = {16^t} \Leftrightarrow {100^t} - {4.40^t} = {12.16^t}\]\[ \Leftrightarrow 12.{\left( {\frac{{16}}{{100}}} \right)^t} + 4.{\left( {\frac{{16}}{{40}}} \right)^t} - 1 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 12.{\left( {\frac{4}{{25}}} \right)^t} + 4.{\left( {\frac{2}{5}} \right)^t} - 1 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^t} = \frac{1}{6}}\\{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^t} = - \frac{1}{2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)}\end{array}} \right.\]

Vậy \[\frac{a}{b} = {\left( {\frac{{100}}{{40}}} \right)^t} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^t} = 6\].