Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có độ cứng \[k = 100{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N/m\], vật nhỏ khối lượng \[m = 100{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} g\]. Nâng vật lên theo phương thẳng đứng để lò xo nén 3cm rồi truyền cho vật vận tốc đầu \[30\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm/s\] hướng thẳng đứng xuống dưới. Trong một chu kì, khoảng thời gian lực đàn hồi của lò xo có độ lớn nhỏ hơn 2N gần nhất với giá trị nào sau đây?

Phương pháp giải:

Tần số góc của con lắc lò xo: \[\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} \]

Độ giãn của lò xo ở VTCB: \[\Delta {{\rm{l}}_0} = \frac{{mg}}{k}\]

Công thức độc lập với thời gian: \[{x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2}\]

Độ lớn lực đàn hồi của lò xo: \[{F_{dh}} = k\Delta {\rm{l}}\]

Sử dụng vòng tròn lượng giác và công thức: \[\Delta t = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega }\]

Giải chi tiết:

Tần số góc của con lắc là: \[\omega = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{{100}}{{0,1}}} = 10\sqrt {10} = 10\pi {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {rad/s} \right)\]

Ở VTCB, lò xo giãn một đoạn là: \[\Delta {{\rm{l}}_0} = \frac{{mg}}{k} = \frac{{0,1.10}}{{100}} = 0,01{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right) = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\]

Nâng vật lên để lò xo nén \[3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} cm\], li độ của con lắc khi đó là: \[x = - \left( {3 + 1} \right) = - 4{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\]

Ta có công thức độc lập với thời gian: \[{x^2} + \frac{{{v^2}}}{{{\omega ^2}}} = {A^2} \Rightarrow {\left( { - 4} \right)^2} + \frac{{{{\left( {30\pi } \right)}^2}}}{{{{\left( {10\pi } \right)}^2}}} = {A^2} \Rightarrow A = 5{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\]

Độ lớn của lực đàn hồi là: \[{F_{dh}} = k\Delta {\rm{l}} \Rightarrow \Delta {\rm{l}} = \frac{{{F_{dh}}}}{k} \Rightarrow \Delta {\rm{l}} < \frac{2}{{100}} = 0,02{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right) = 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\]\[ \Rightarrow - 3 < x < 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {cm} \right)\]

Ta có vòng tròn lượng giác:

Từ vòng tròn lượng giác, ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \alpha = \frac{3}{5} \Rightarrow \alpha \approx {{53}^0}}\\{\cos \beta = \frac{1}{5} \Rightarrow \beta \approx {{78}^0}}\end{array}} \right.\]

Vậy trong khoảng thời gian lực đàn hồi có độ lớn nhỏ hơn 2N, vecto quay được góc:

\[\Delta \varphi = 2.\left( {180 - 53 - 78} \right) = {98^0} \approx 1,71{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {rad} \right)\]

\[ \Rightarrow \Delta t = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega } = \frac{{1,71}}{{10\pi }} = 0,054{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( s \right)\]

Vậy giá trị thời gian gần nhất là 0,05s0,05s