Cho đường cong \[\left( C \right):y = \frac{{x - 3}}{{x + 1}}\] và đường thẳng \[d:{\mkern 1mu} y = x + 3m\]. Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để \[d\] và \[\left( C \right)\] cắt nhau tại hai điểm phân biệt \[A,B\] sao cho trung điểm I của đoạn thẳng \[AB\] có hoành độ bằng 3.

Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

- Sử dụng hệ thức Vi-et.

- Sử dụng công thức trung điểm: I là trung điểm của \[AB\] thì \[{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\] .

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \frac{{x - 3}}{{x + 1}} = x + 3m{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x \ne - 1} \right) \Leftrightarrow x - 3 = {x^2} + 3mx + x + 3m\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} + 3mx + 3m + 3 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\]

Để \[\left( C \right)\]  và \[d\] cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

\[ \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 12m - 12 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 2}\\{m < - \frac{2}{3}}\end{array}} \right.\]

Khi đó, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\] thỏa mãn: \[{x_1} + {x_2} = - 3m\]  (Định lí Vi-ét).

Trung điểm I của AB có hoành độ 3 nên: \[\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 3\frac{{ - 3m}}{2} = 3 \Leftrightarrow m = - 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right).\]