Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA’, BC, CD. Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp thành hai phần có thể tích là \[{V_1},{V_2}\]. Gọi \[{V_1}\] là thể tích phần chứa điểm C. Tỉ số \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\] bằng

Phương pháp giải:

Thể tích khối chóp : \[V = \frac{1}{3}Sh\]

Thể tích khối lăng trụ: \[V = Sh\]

Giải chi tiết:

Trong (ABCD), gọi \[I = NP \cap AB,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} K = NP \cap AD\]

Trong (ABB’A’), gọi  \[E = IM \cap BB'\]

Trong (ADD’A’), gọi \[F = KM \cap DD'\]

Thiết diện của hình hộp cắt bởi (MNP) là ngũ giác MENPF.

Ta có: \[\Delta INB = \Delta PNC \Rightarrow IN = NP\], tương tự:

\[KP = NP \Rightarrow IN = KP = NP\] \[ \Rightarrow \frac{{IN}}{{IK}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{IN}}{{IK}} = \frac{{BE}}{{AM}} = \frac{{IB}}{{IA}} = \frac{1}{3}\] \[ \Rightarrow \frac{{{V_{E.IBN}}}}{{{V_{M.IAK}}}} = \frac{1}{{27}}\]

Tương tự: \[\frac{{{V_{F.DPK}}}}{{{V_{M.IAK}}}} = \frac{1}{{27}}\]\[ \Rightarrow \frac{{{V_2}}}{{{V_{M.IAK}}}} = 1 - \frac{1}{{27}} - \frac{1}{{27}} = \frac{{25}}{{27}} \Rightarrow {V_2} = \frac{{25}}{{27}}{V_{M.IAK}}\]

Ta có: \[\Delta IAK\] đồng dạng \[\Delta NCP\] với tỉ số đồng dạng là \[3 \Rightarrow {S_{\Delta AIK}} = 9.{S_{\Delta NCP}}\].

Mà \[{S_{\Delta NCP}} = \frac{1}{4}.\frac{1}{2}.{S_{ABCD}} = \frac{1}{8}{S_{ABCD}}\]

\[ \Rightarrow {S_{\Delta AIK}} = \frac{9}{8}{S_{ABCD}}\]

Khi đó:

\[{V_{M.IAK}} = \frac{1}{2}.\frac{9}{8}.{V_{A'.ABCD}} = \frac{1}{2}.\frac{9}{8}.\frac{1}{3}.{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{3}{{16}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\] \[ \Rightarrow {V_2} = \frac{{25}}{{27}}{V_{M.IAK}} = \frac{{25}}{{27}}.\frac{3}{{16}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \frac{{25}}{{144}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\]

\[ \Rightarrow {V_1} = \frac{{119}}{{144}}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{119}}{{25}}\]