Câu hỏi:
11/06/2022 156
Trong các mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng \[{\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 2 - t}\\{z = - 4 + 2t}\end{array}} \right.,\;{\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 8 + 2t}\\{y = 6 + t}\\{z = 10 - t}\end{array}} \right.;\] phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất là
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
- Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng nếu nó có tâm là trung điểm của đoạn vuông góc chung.
- Gọi hai điểm \[M,N\] lần lượt thuộc hai đường thẳng, sử dụng \[MN \bot {\Delta _1},MN \bot {\Delta _2}\] để tìm tọa độ \[M,N\] và kết luận.
Giải chi tiết:
Nhận xét: Mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng nếu nó có tâm là trung điểm của đoạn vuông góc chung. Từ đó ta tìm đoạn vuông góc chung và suy ra tâm, bán kính mặt cầu.
\[{\Delta _1}\] có VTCP \[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;2} \right)\] và \[{\Delta _2}\] có VTCP \[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;1; - 1} \right)\].
Gọi \[M\left( {t;2 - t; - 4 + 2t} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N\left( { - 8 + 2t';6 + t';10 - t'} \right)\] lần lượt là hai điểm thuộc \[{\Delta _1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\Delta _2}\] sao cho \[MN\] là đoạn vuông góc chung.
\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 8 + 2t' - t;4 + t' + t;14 - t' - 2t} \right)\]
\[MN\] là đoạn vuông góc chung \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_1}} = 0}\\{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_2}} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6t + t' = 16}\\{t + 6t' = 26}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 2}\\{t' = 4}\end{array}} \right.\].
Suy ra \[M\left( {2;0;0} \right),N\left( {0;10;6} \right) \Rightarrow I\left( {1;5;3} \right)\] là trung điểm của \[MN\] và cũng là tâm mặt cầu cần tìm.
Bán kính mặt cầu \[R = IM = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 5} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {35} \].
Vậy phương trình mặt cầu \[{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 35\].
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho ba mệnh đề sau, với n là số tự nhiên
(1) \[n + 8\] là số chính phương (2) Chữ số tận cùng của n là 4
(3) \[n - 1\] là số chính phương
Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Hãy xác định mệnh đề nào, đúng mệnh đề nào sai?
Cho ba mệnh đề sau, với n là số tự nhiên
(1) \[n + 8\] là số chính phương (2) Chữ số tận cùng của n là 4
(3) \[n - 1\] là số chính phương
Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Hãy xác định mệnh đề nào, đúng mệnh đề nào sai?
Xem đáp án »
11/06/2022
10,894
Câu 2:
Ở bên là hình ảnh trên bao phân đạm Hà Bắc. Thông tin trên bao ghi: Nitơ ≥ 46,3%, khối lượng tịnh 50 kg. Biết thành phần chính của đạm ure là (NH2)2CO. Dựa vào các thông tin ghi trên bao, xác định khối lượng (NH2)2CO ít nhất có trong 1 bao phân đạm ure Hà Bắc.
Xem đáp án »
11/06/2022
8,568
Câu 4:
All of the students in this course will be assessed according to their attendance, performance, and they work hard.
Xem đáp án »
11/06/2022
5,578
Câu 5:
Native to South America and cultivated there for thousands of years, peanuts is said to have been introduced to North America by early explorers.
Xem đáp án »
11/06/2022
4,998
Câu 7:
It came as a nice surprise that the script writer would get married with the movie star.
Xem đáp án »
11/06/2022
4,403
về câu hỏi!