Câu hỏi:
11/06/2022 138
Biết rằng \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2} \] với \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\] là các số hữu tỉ. Tính \[2a + 3b - 4c.\]
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
- Chia tử cho mẫu để đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng đa thức + phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.
- Phân tích mẫu thành nhân tử, biến đổi để xuất hiện các tích phân dạng \[\int\limits_1^2 {\frac{k}{{ax + b}}dx} \]
- Tính tích phân và tìm \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\]
Giải chi tiết:
Ta có:
\[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x - 1 + \frac{{x - 1}}{{{x^2} + x}}} \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} = \frac{1}{2} + I\]
Giả sử \[\frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{B}{x} + \frac{C}{{x + 1}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{B\left( {x + 1} \right) + Cx}}{{x\left( {x + 1} \right)}} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {B + C} \right)x + B}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\]
\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B + C = 1}\\{B = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B = - 1}\\{C = 2}\end{array}} \right.\]
Khi đó ta có
\[I = \int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{ - 1}}{x}dx} + \int\limits_1^2 {\frac{2}{{x + 1}}dx} \]
\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \left. { - \ln \left| x \right|} \right|_1^2 + \left. {2\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_1^2\]\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = - \ln 2 + 2\ln 3 - 2\ln 2\]\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 2\ln 3 - 3\ln 2\]
\[ \Rightarrow \int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx} = \frac{1}{2} + 2\ln 3 - 3\ln 2\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{1}{2}}\\{b = 2}\\{c = - 3}\end{array}} \right.\]
Vậy \[2a + 3b - 4c = 2.\frac{1}{2} + 3.2 - 4.\left( { - 3} \right) = 19\]
Nhà sách VIETJACK:
Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) cho 2k7 VietJack
Đã bán 902
₫ 150.000
₫ 39.000
Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) cho 2k7 VietJack
Đã bán 851
₫ 150.000
₫ 39.000
Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2024 cho 2k7 VietJack
Đã bán 1,4k
₫ 290.000
₫ 140.000
Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2024 cho 2k7 VietJack
Đã bán 1,4k
₫ 280.000
₫ 150.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho ba mệnh đề sau, với n là số tự nhiên
(1) \[n + 8\] là số chính phương (2) Chữ số tận cùng của n là 4
(3) \[n - 1\] là số chính phương
Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Hãy xác định mệnh đề nào, đúng mệnh đề nào sai?
Cho ba mệnh đề sau, với n là số tự nhiên
(1) \[n + 8\] là số chính phương (2) Chữ số tận cùng của n là 4
(3) \[n - 1\] là số chính phương
Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Hãy xác định mệnh đề nào, đúng mệnh đề nào sai?
Xem đáp án »
11/06/2022
11,460
Câu 2:
Ở bên là hình ảnh trên bao phân đạm Hà Bắc. Thông tin trên bao ghi: Nitơ ≥ 46,3%, khối lượng tịnh 50 kg. Biết thành phần chính của đạm ure là (NH2)2CO. Dựa vào các thông tin ghi trên bao, xác định khối lượng (NH2)2CO ít nhất có trong 1 bao phân đạm ure Hà Bắc.
Xem đáp án »
11/06/2022
9,148
Câu 4:
All of the students in this course will be assessed according to their attendance, performance, and they work hard.
Xem đáp án »
11/06/2022
6,432
Câu 5:
Native to South America and cultivated there for thousands of years, peanuts is said to have been introduced to North America by early explorers.
Xem đáp án »
11/06/2022
5,689
Câu 6:
It came as a nice surprise that the script writer would get married with the movie star.
Xem đáp án »
11/06/2022
5,228
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 1)
-
(2025) Đề thi thử Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 1)
-
ĐGNL ĐHQG TP.HCM - Sử dụng ngôn ngữ Tiếng Việt - Chính tả
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 2)
-
(2025) Đề thi thử Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 3)
-
(2025) Đề thi thử Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 5)
-
(2025) Đề thi thử Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 4)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận