Câu hỏi:
11/06/2022 109
Biết rằng \[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx = a + b\ln 3 + c\ln 2} \] với \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\] là các số hữu tỉ. Tính \[2a + 3b - 4c.\]
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
- Chia tử cho mẫu để đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạng đa thức + phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.
- Phân tích mẫu thành nhân tử, biến đổi để xuất hiện các tích phân dạng \[\int\limits_1^2 {\frac{k}{{ax + b}}dx} \]
- Tính tích phân và tìm \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\]
Giải chi tiết:
Ta có:
\[\int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x - 1 + \frac{{x - 1}}{{{x^2} + x}}} \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} = \frac{1}{2} + I\]
Giả sử \[\frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{B}{x} + \frac{C}{{x + 1}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{B\left( {x + 1} \right) + Cx}}{{x\left( {x + 1} \right)}} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {B + C} \right)x + B}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\]
\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B + C = 1}\\{B = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B = - 1}\\{C = 2}\end{array}} \right.\]
Khi đó ta có
\[I = \int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{ - 1}}{x}dx} + \int\limits_1^2 {\frac{2}{{x + 1}}dx} \]
\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = \left. { - \ln \left| x \right|} \right|_1^2 + \left. {2\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_1^2\]\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = - \ln 2 + 2\ln 3 - 2\ln 2\]\[{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = 2\ln 3 - 3\ln 2\]
\[ \Rightarrow \int\limits_1^2 {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + x}}dx} = \frac{1}{2} + 2\ln 3 - 3\ln 2\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{1}{2}}\\{b = 2}\\{c = - 3}\end{array}} \right.\]
Vậy \[2a + 3b - 4c = 2.\frac{1}{2} + 3.2 - 4.\left( { - 3} \right) = 19\]
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho ba mệnh đề sau, với n là số tự nhiên
(1) \[n + 8\] là số chính phương (2) Chữ số tận cùng của n là 4
(3) \[n - 1\] là số chính phương
Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Hãy xác định mệnh đề nào, đúng mệnh đề nào sai?
Cho ba mệnh đề sau, với n là số tự nhiên
(1) \[n + 8\] là số chính phương (2) Chữ số tận cùng của n là 4
(3) \[n - 1\] là số chính phương
Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. Hãy xác định mệnh đề nào, đúng mệnh đề nào sai?
Xem đáp án »
11/06/2022
11,035
Câu 2:
Ở bên là hình ảnh trên bao phân đạm Hà Bắc. Thông tin trên bao ghi: Nitơ ≥ 46,3%, khối lượng tịnh 50 kg. Biết thành phần chính của đạm ure là (NH2)2CO. Dựa vào các thông tin ghi trên bao, xác định khối lượng (NH2)2CO ít nhất có trong 1 bao phân đạm ure Hà Bắc.
Xem đáp án »
11/06/2022
8,734
Câu 4:
All of the students in this course will be assessed according to their attendance, performance, and they work hard.
Xem đáp án »
11/06/2022
5,788
Câu 5:
Native to South America and cultivated there for thousands of years, peanuts is said to have been introduced to North America by early explorers.
Xem đáp án »
11/06/2022
5,095
Câu 7:
It came as a nice surprise that the script writer would get married with the movie star.
Xem đáp án »
11/06/2022
4,530
Bình luận
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi thử Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2024 có đáp án (Đề 1)
-
Bộ 15 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐHQG HCM có đáp án (Đề 1)
-
ĐGNL ĐHQG TP.HCM - Sử dụng ngôn ngữ Tiếng Việt - Chính tả
-
Đề thi thử Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2024 có đáp án (Đề 7)
-
Đề thi thử Đánh giá năng lực trường ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2024 có đáp án (Đề 2)
-
ĐGNL ĐHQG TP.HCM - Sử dụng ngôn ngữ Tiếng Việt - Tổng hợp các đề đọc hiểu (P1)
-
ĐGNL ĐHQG TP.HCM - Sử dụng ngôn ngữ Tiếng Việt - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề luyện thi ngôn ngữ có đáp án (Đề 1)
về câu hỏi!