Cho \[{\log _7}12 = x;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\log _{12}}24 = y\] và \[{\log _{54}}168 = \frac{{axy + 1}}{{bxy + cx}}\] trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \[S = a + 2b + 3c\].

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức \[{\log _a}b.{\log _b}c = {\log _a}c,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\log _a}b - {\log _a}c = {\log _a}\frac{b}{c}\] (giả sử các biểu thức đã cho là có nghĩa).

Giải chi tiết:

\[xy = {\log _7}12.{\log _{12}}24 = {\log _7}24\]

\[{\log _{54}}168 = \frac{{a.{{\log }_7}24 + 1}}{{b.{{\log }_7}24 + c{{\log }_7}12}} = \frac{{{{\log }_7}{{24}^a} + {{\log }_7}7}}{{{{\log }_7}{{24}^b} + {{\log }_7}{{12}^c}}} = \frac{{{{\log }_7}\left( {{{7.24}^a}} \right)}}{{{{\log }_7}\left( {{{24}^b}{{.12}^c}} \right)}} = {\log _{\left( {{{24}^b}{{.12}^c}} \right)}}\left( {{{7.24}^a}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{7.24}^a} = 168}\\{{{24}^b}{{.12}^c} = 54}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{{2^{3b}}{{.3}^b}{{.2}^{2c}}{{.3}^c} = {{2.3}^3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{3b + 2c = 1}\\{b + c = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = - 5}\\{c = 8}\end{array}} \right.\left( {tm} \right)\]

\[ \Rightarrow S = a + 2b + 3c = 1 + 2.\left( { - 5} \right) + 3.8 = 15\]