Cạnh huyền của \[\Delta ABC\] vuông tại A biết chu vi tam giác là \[12{\mkern 1mu} m\] và tổng bình phương của ba cạnh bằng \[50{\mkern 1mu} m\] là:

Phương pháp giải:

Gọi độ dài các cạnh góc vuông của \[\Delta ABC\] là \[x,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right),\] độ dài cạnh huyền của \[\Delta ABC\] là \[z{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {0 < x,{\mkern 1mu} y < z < 12} \right).\]

Khi đó áp dụng công thức tính chu vi, định lý Pitago và các giả thiết đề bài để lập hệ phương trình.

Giải hệ phương trình, đối chiếu với các điều kiện của ẩn rồi kết luận.

Giải chi tiết:

Gọi độ dài các cạnh góc vuông của \[\Delta ABC\] là \[x,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right),\] độ dài cạnh huyền của \[\Delta ABC\] là \[z{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( m \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {0 < x,{\mkern 1mu} y < z < 12} \right).\]

Chu vi của tam giác là 12m nên ta có phương trình: \[x + y + z = 12{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\]

Tổng bình phương của ba cạnh của tam giác là \[50m\] nên ta có phương trình: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 50{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)\]

Áp dụng định lý Pitago ta có phương trình: \[{x^2} + {y^2} = {z^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 3 \right)\]

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y + z = 12}\\{{x^2} + {y^2} + {z^2} = 50}\\{{x^2} + {y^2} = {z^2}}\end{array}} \right. \Rightarrow 2{z^2} = 50 \Leftrightarrow {z^2} = 25 \Leftrightarrow z = 5{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)\]

Vậy độ dài cạnh huyền của tam giác đã cho là 5m.