Một người thợ được thuê làm một cái hồ bơi và một vườn hoa trên mảnh đất có diện tích là 200 m² và phải để diện tích lối đi tối thiểu là 50 m². Diện tích của hồ bơi và vườn hoa thỏa mãn các điều kiện trên lần lượt là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}-2x+y\le -2\\ x-2y\le 2\\ x+y\le 5\\ x\ge 0\end{array}\right.$  trên hệ trục tọa độ

+ Ta vẽ đường thẳng d₁: – 2x + y = – 2, đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; – 2) và (1; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có – 2.0 + 0 = 0 > – 2, điểm O(0; 0) không thoả mãn bất phương trình – 2x + y ≤ – 2, vậy điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₁ và không chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

+ Ta vẽ đường thẳng d₂: x – 2y = 2, đường thẳng d₂ đi qua hai điểm (0; – 1) và (2; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 2.0 = 0 < 2, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình x – 2y ≤ 2, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₂ và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

+ Ta vẽ đường thẳng d₃: x + y = 5, đường thẳng d₃ đi qua hai điểm (0; 5) và (5; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 = 0 < 5, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình x + y ≤ 5, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₃ và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

+ x ≥ 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

Miền nghiệm là phần không bị gạch trong hình dưới đây (kể cả bờ).

Nhận thấy biểu thức F = y – x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B hoặc C, với$A\left(\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)$ ,$B\left(\frac{7}{3};\frac{8}{3}\right)$, C(4; 1).

Ta có

F(x; y) = y – x suy ra F  = $\left(\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)=-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$

F(x; y) = y – x suy ra F = $\left(\frac{7}{3};\frac{8}{3}\right)=\frac{8}{3}-\frac{7}{3}=\frac{1}{3}$

F(x; y) = y – x suy ra F(4; 1) = 1 – 4 = – 3.

Vậy F = y – x đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 3 tại điểm có toạ độ (4; 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y (cái) lần lượt là số áo và số quần mà xưởng cần sản xuất (x, y ∈ ℕ).

Khi đó ta có:

x + 3y (giờ) là thời gian hoạt động của máy I;

2x + 4y (giờ) là thời gian hoạt động của máy II;

3x + 2y (giờ) là thời gian hoạt động của máy III.

Số tiền lãi của nhà máy L = 200x + 300y (nghìn đồng).

Do máy I chỉ hoạt động không quá 50 giờ, máy II hoạt động không quá 70 giờ và máy III hoạt động không quá 48 giờ nên ta có hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$ .

Khi đó bài toán trở thành tìm số tự nhiên x, y thỏa hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$  để L = 200x + 300y đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{c}x+3y\le 50\\ 2x+4y\le 70\\ 3x+2y\le 48\end{array}\right.$  với x ≥ 0; y ≥ 0.

Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác OABCD (kể cả biên) với O(0; 0),$A\left(0;\frac{50}{3}\right)$ , B(5; 15),$C\left(\frac{13}{2};\frac{57}{4}\right)$ , D(16; 0).

L lớn nhất tại các đỉnh của ngũ giác OABCD, do x, y ∈ ℕ nên ta chỉ cần tính giá trị của L tại các đỉnh O, B, D và so sánh.

Ta có:

L(0; 0) = 0, L(5; 15) = 5500, L(16; 0) = 3200.

Do đó, L_max  = 5500 tại x = 5 và y = 15.

Vậy phải sản xuất 5 cái áo và 15 cái quần để lợi nhuận lớn nhất.