Hãy chứng minh rằng tích của hai số nguyên tố là một hợp số.

Mỗi số tự nhiên n khi chia cho 4 có thể có 1 trong các số dư: 0;1;2;3. Do đó mọi số tự nhiên n  đều có thể viết được dưới 1 trong 4 dạng: $4k,4k+1,4k+2,4k+3$  với $k\in N*$

- Nếu $n=4k$ => $n⋮4$ => n là hợp số.

- Nếu $n=4k+2$=> $n⋮2$ => n   là hợp số.

Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng $4k+1$  hoặc $4k-1$ . Hay mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng $4n+1$  hoặc $4n–1$  với $n\in N*.$

Vì p là số nguyên tố và p>3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: $3k+1,3k+2$ với k $\in$ N*.

- Nếu $p=3k+1$  thì $p+2=3k+3=3\left(k+1\right)$=> $p+2 ⋮3$   và  $p+2>3$

$=> p+2$ là hợp số ( Trái với đề bài p+2 là số nguyên tố).

- Nếu $p=3k+2$  thì $p+1\text{=}3k+3=3\left(k+1\right)$  (1).

Do p là số nguyên tố và p>3 => p  lẻ -> k lẻ => k+1 chẵn  => k+12 (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow p+1⋮6$