Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng đơn vị (Hình 14).

a) Chỉ ra rằng AC’ ⊥ (A’BD).

b) Gọi O là tâm của tam giác đều A’BD. Hình chiếu vuông góc của ba đoạn AB, AD và AA’ lên (A’BD) có bằng nhau không?

c) Chỉ ra rằng $\hat{B O D} = \hat{D O A^{'}} = \hat{A^{'} O B} = 120 °$ .

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Ta có A’D ⊥ AD’ (AA’D’D là hình vuông) và A’D ⊥ C’D’ (C’D’ ⊥ (AA’D’D)).

Suy ra A’D ⊥ (AC’D’).

Do đó A’D ⊥ AC’ (1)

Chứng minh tương tự, ta được A’B ⊥ AC’ (2)

Từ (1), (2), ta thu được AC’ ⊥ (A’BD).

b) Gọi M là trung điểm BD.

Ta có AB = AD (do ABCD là hình vuông).

Suy ra tam giác ABD cân tại A.

Do đó AM ⊥ BD.

Lại có O là tâm của tam giác đều A’BD.

Suy ra A’M ⊥ BD và O ∈ A’M.

Ta có AM ⊥ BD và A’M ⊥ BD (chứng minh trên).

Suy ra BD ⊥ (AA’M).

Do đó BD ⊥ AO (3)

Chứng minh tương tự, ta được A’D ⊥ AO (4)

Từ (3), (4), suy ra AO ⊥ (A’BD).

Khi đó O là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’BD).

Mà B là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (A’BD).

Suy ra OB là hình chiếu vuông góc của AB lên mặt phẳng (A’BD).

Chứng minh tương tự, ta được: OD, OA’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của AD, AA’ lên mặt phẳng (A’BD).

Tam giác A’BD đều có tâm O.

Suy ra OA’ = OB = OD.

Vậy hình chiếu vuông góc OB, OD và OA’ lần lượt của ba đoạn AB, AD và AA’ lên (A’BD) có độ dài bằng nhau.

c) Ta có tam giác A’BD đều. Suy ra $\hat{B A^{'} D} = 60 °$ .

Tam giác A’BD đều có tâm O. Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BD.

Khi đó $\hat{B O D} = 2 \hat{B A^{'} D} = 2.60 ° = 120 °$ .

Chứng minh tương tự, ta được $\hat{D O A^{'}} = 120 °$ và $\hat{A^{'} O B} = 120 °$ .

Vậy $\hat{B O D} = \hat{D O A^{'}} = \hat{A^{'} O B} = 120 °$ .

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay