Hãy chọn dãy số tăng trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = – 2n + 1.

B. u_n = n² – n + 1.

C.u_n = (– 1)ⁿ 2ⁿ.

D. u_n = 1 + sin n.

Đáp án đúng là: D

Gọi số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của cấp số cộng này là u₂, u₉, u₄₄. Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ và công sai là d. Khi đó ta có:

u₂ = u₁ + d;

u₉ = u₁ + 8d = (u₁ + d) + 7d = u₂ + 7d;

 u₄₄ = u₁ + 43d = (u₁ + d) + 42d = u₂ + 42d.

Vì 3 số này là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta có: 

$u_2{u}_{44}=u_9^2$ hay u₂(u₂ + 42d) = (u₂ + 7d)².

Và tổng của 3 số đó là 217 nên u₂ + u₉ + u₄₄ = u₂ + u₂ + 7d + u₂ + 42d = 3u₂ + 49d = 217.

Vậy ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}{u}_2\left(u_2+42d\right)={\left(u_2+7d\right)}^2\\ 3u_2+49d=217\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_2=7\\ d=4\end{array}\right.$.

Do đó u₁ = u₂ – d = 7 – 4 = 3.

Gọi n số hạng đầu của cấp số cộng có tổng là 210.

Khi đó $S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]$ hay $210=\frac{n}{2}\left[2.3+\left(n-1\right).4\right]$ ⇔ 210 = n(2n + 1)

⇔ 2n² + n – 210 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}n=10\\ n=-\frac{21}{2}\end{array}\right.$.

Vì n nguyên dương nên n = 10. Vậy phải lấy 10 số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210.

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số ở đáp án D là dãy số bị chặn. Thật vậy:

Ta có $u_n=\frac{2-n}{n+1}=\frac{-\left(n+1\right)+3}{n+1}=-1+\frac{3}{n+1}$.

Vì n > 0 nên $\frac{3}{n+1}>0$. Suy ra $-1+\frac{3}{n+1}>-1$.

Vì n ≥ 1 nên n + 1 ≥ 2 $\Rightarrow \frac{3}{n+1}\le \frac{3}{2}\Rightarrow -1+\frac{3}{n+1}\le \frac{1}{2}$.

Vậy $-1<u_n\le \frac{1}{2}$ nên dãy số này bị chặn.