Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số (u_n) sau:

A. u_n = 1 – n².

B. u_n = 2ⁿ.

C. u_n = n sin n.

D. $u_n=\frac{2-n}{n+1}$.

Đáp án đúng là: D

Gọi số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của cấp số cộng này là u₂, u₉, u₄₄. Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ và công sai là d. Khi đó ta có:

u₂ = u₁ + d;

u₉ = u₁ + 8d = (u₁ + d) + 7d = u₂ + 7d;

 u₄₄ = u₁ + 43d = (u₁ + d) + 42d = u₂ + 42d.

Vì 3 số này là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta có: 

$u_2{u}_{44}=u_9^2$ hay u₂(u₂ + 42d) = (u₂ + 7d)².

Và tổng của 3 số đó là 217 nên u₂ + u₉ + u₄₄ = u₂ + u₂ + 7d + u₂ + 42d = 3u₂ + 49d = 217.

Vậy ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}{u}_2\left(u_2+42d\right)={\left(u_2+7d\right)}^2\\ 3u_2+49d=217\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_2=7\\ d=4\end{array}\right.$.

Do đó u₁ = u₂ – d = 7 – 4 = 3.

Gọi n số hạng đầu của cấp số cộng có tổng là 210.

Khi đó $S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]$ hay $210=\frac{n}{2}\left[2.3+\left(n-1\right).4\right]$ ⇔ 210 = n(2n + 1)

⇔ 2n² + n – 210 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}n=10\\ n=-\frac{21}{2}\end{array}\right.$.

Vì n nguyên dương nên n = 10. Vậy phải lấy 10 số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210.

Đáp án đúng là: C

Ta có dãy số (u_n) với u_n = 2ⁿ là cấp số nhân.

Thật vậy, $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2^{n+1}}{2^n}=2$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số này là cấp số nhân với công bội q = 2.