\(P\) và \(Q\) là hai điểm trên mặt nước cách nhau một khoảng \(20{\rm{\;cm}}\). Tại một điểm \({\rm{O}}\) trên đường thẳng \({\rm{PQ}}\) và nằm ngoài đoạn \({\rm{PQ}}\), người ta đặt nguồn dao động điều hoà theo phương vuông góc với mặt nước với phương trình \({\rm{u}} = 5{\rm{cos}}\omega {\rm{t}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\), tạo ra sóng trên mặt nước với bước sóng \(\lambda = 15{\rm{\;cm}}\). Khoảng cách xa nhất và gần nhất giữa hai phần tử môi trường tại \({\rm{P}}\) và \(Q\) khi có sóng truyền qua là bao nhiêu?

Gọi O₁, O₂ lần lượt là vị trí cân bằng của P và Q; u₁, u₂ lần lượt là li độ dao động của các phần tử tại P và Q;\({\rm{\Delta }}u = {u_1} - {u_2}\).

Khoảng cách giữa P và Q trong quá trình dao động là:

\(l = \sqrt {{{\left( {{{\rm{O}}_1}{{\rm{O}}_2}} \right)}^2} + {{({\rm{\Delta u}})}^2}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{l_{{\rm{min}}}} = \sqrt {{{\left( {{{\rm{O}}_1}{{\rm{O}}_2}} \right)}^2} + {{(0)}^2}} = {{\rm{O}}_1}{{\rm{O}}_2}}\\{{l_{{\rm{max}}}} = \sqrt {{{\left( {{{\rm{O}}_1}{{\rm{O}}_2}} \right)}^2} + {{\left( {{\rm{\Delta }}{{\rm{u}}_{{\rm{max}}}}} \right)}^2}} }\end{array}} \right.\)

Vậy khoảng cách gần nhất giữa P và Q là: \({l_{{\rm{min}}}} = {O_1}{O_2} = 20{\rm{\;cm}}\).

Khoảng cách xa nhất giữa P và Q là: \({l_{{\rm{max}}}} = \sqrt {{{\left( {{{\rm{O}}_1}{{\rm{O}}_2}} \right)}^2} + {{\left( {{\rm{\Delta }}{{\rm{u}}_{{\rm{max}}}}} \right)}^2}} \).

Giả sử sóng truyền qua P rồi mới đến Q thì dao động tại P sớm pha hơn Q là: \({\rm{\Delta }}\varphi = \frac{{2\pi \left( {PQ} \right)}}{\lambda } = \frac{{8\pi }}{3}\)

Chọn mốc thời gian để phương trình dao động của phần tử tại P là: \({u_1} = 5{\rm{cos}}\omega t\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

thì phương trình dao động của phần tử tại Q là: \({u_2} = 5{\rm{cos}}\left( {\omega t - \frac{{8\pi }}{3}} \right)\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

\({\rm{\Delta u}} = {{\rm{u}}_1} - {{\rm{u}}_2} = 5{\rm{cos}}\left( {\omega {\rm{t}} - \frac{{8\pi }}{3}} \right) - 5{\rm{cos}}\omega {\rm{t}} = 5\sqrt 3 {\rm{cos}}\left( {\omega {\rm{t}} - \frac{{5\pi }}{6}} \right)\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}{{\rm{u}}_{{\rm{max}}}} = 5\sqrt 3 {\rm{\;cm}}\).

\({l_{{\rm{max}}}} = \sqrt {{{(20)}^2} + {{(5\sqrt 3 )}^2}} = 5\sqrt {19} {\rm{\;cm}}.\)