Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên [0;1]. Biết f(x)⋅f(1−x)=1 với mọi x∈[0;1]. Tính giá trị I=∫01dx1+f(x). A. 32. B. 12. C. 1. D. 2.

Ta có 1+f(x)=f(x)f(1−x)+f(x)⇒f(x)1+f(x)=1f(1−x)+1. Xét I=∫01dx1+f(x). Đặt t=1−x⇔x=1−t⇒dx=−dt. Đổi cận x=0⇒t=1;x=1⇒t=0. Khi đó,I=−∫10dt1+f(1−t)=∫01dt1+f(1−t)=∫01dx1+f(1−x)=∫01f(x)dx1+f(x) Mặt khác, ∫01dx1+f(x)+∫01f(x)dx1+f(x)=∫011+f(x)1+f(x)dx=∫01dx=1 hay 2I=1. Vậy I=12. Chọn B

Câu hỏi:

08/12/2023 495

Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên [0;1].

Biết $f (x) \cdot f (1 - x) = 1$ với mọi $x \in [0; 1]$ . Tính giá trị $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)} .$

\frac{3}{2} .

\frac{1}{2} .

C. 1.

D. 2.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá tư duy tốc chiến Đại học Bách khoa năm 2023-2024 có đáp án (Đề 1) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $1 + f (x) = f (x) f (1 - x) + f (x) \Rightarrow \frac{f (x)}{1 + f (x)} = \frac{1}{f (1 - x) + 1} .$

Xét $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)}$ . Đặt $t = 1 - x \Leftrightarrow x = 1 - t \Rightarrow d x = - d t .$

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = 1; x = 1 \Rightarrow t = 0.$

Khi đó, $I = - \int_{1}^{0} \frac{d t}{1 + f (1 - t)} = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + f (1 - t)} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (1 - x)} = \int_{0}^{1} \frac{f (x) d x}{1 + f (x)}$

Mặt khác, $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)} + \int_{0}^{1} \frac{f (x) d x}{1 + f (x)} = \int_{0}^{1} \frac{1 + f (x)}{1 + f (x)} d x = \int_{0}^{1} d x = 1$ hay $2 I = 1.$

Vậy $I = \frac{1}{2} .$

Chọn B

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một người mua một căn hộ chung cư với giá 500 triệu đồng. Người đó trả trước số tiền là 100 triệu đồng. Số tiền còn lại người đó thanh toán theo hình thức trả góp với lãi suất tính trên tổng số tiền còn nợ là 0,5% mỗi tháng. Kể từ ngày mua, sau đúng mỗi tháng người đó trả số tiền cố định là 4 triệu đồng. Thời gian để người đó trả hết nợ là

A. 136 tháng.

B. 140 tháng.

C. 139 tháng.

D. 133 tháng.

Lời giải

Một người mua một căn hộ chung cư với giá 500 triệu đồng. Người đó trả trước số tiền là 100 triệu đồng (ảnh 1)

Câu 2

Từ các chữ số 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần?

A. 1260.

B. 40320.

C. 120.

D. 1728.

Lời giải

Cách 1. Dùng tổ hợp

Chọn vị trí cho 2 chữ số 2 có $C_{9}^{2}$ cách.

Chọn vị trí cho 3 chữ số 3 có $C_{7}^{3}$ cách.

Chọn vị trí cho 4 chữ số 4 có $C_{4}^{4}$ cách.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cằu bài toán là $C_{9}^{2} C_{7}^{3} C_{4}^{4} = 1260$ số.

Cách 2. Dùng hoán vị lặp

Số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cằu bài toán là $\frac{9!}{2! 3! 4!} = 1260$ số.

Chọn A

Câu 3

Ý nào sau đây thể hiện rõ nhất nội dung chính của bài đọc trên?

A. Lượng người dùng Internet trên toàn cầu đạt 4,66 tỷ người.

B. Toàn cảnh thế giới số trong năm 2020.

C. Người Philippines sử dụng mạng xã hội trung bình 4 giờ 15 phút mỗi ngày.

D. 66,6% dân số thế giới sử dụng smartphone.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 9 tâm I và mặt phẳng (P): 2x + 2y – z + 24 = 0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn MH có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M.

A. M(–1;0; 4).

B. M(0;1;2).

C. M(3; 4; 2).

D. M(4; 1; 2).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm?

A. 210.

B. 39.

C. 100.

D. 270.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Ý nào sau đây thể hiện rõ nhất nội dung chính của bài đọc trên?

A. Các yếu tố ảnh hưởng đến giấc ngủ của con người.

B. Giấc ngủ của con người thay đổi theo chu kỳ Mặt Trăng.

C. Sự khác biệt giữa hình thái ngủ của người ở đô thị và nông thôn.

D. Ảnh hưởng của chu kì Mặt Trăng đến đời sống con người.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Phương án nào sau đây diễn đạt gần đúng nhất ý chính của đoạn trích?

A. Ứng dụng của “mũi điện tử” và thị giác máy tính trong ngành công nghiệp thực phẩm.

B. Sử dụng “mũi điện tử” và thị giác máy tính để đánh giá độ chín của thịt gà.

C. Ứng dụng công nghệ tự động hóa vào việc chế biến thực phẩm.

D. Nghiên cứu về công nghệ “mũi điện tử” và thị giác máy tính của viện công nghệ Skoltech.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên [0;1]. Biết f(x)⋅f(1−x)=1 với mọi x∈[0;1]. Tính giá trị I=∫01dx1+f(x).

Từ các chữ số 2, 3, 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần?

Ý nào sau đây thể hiện rõ nhất nội dung chính của bài đọc trên?

Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm?

Ý nào sau đây thể hiện rõ nhất nội dung chính của bài đọc trên?

Phương án nào sau đây diễn đạt gần đúng nhất ý chính của đoạn trích?

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên [0;1].

Biết $f (x) \cdot f (1 - x) = 1$ với mọi $x \in [0; 1]$ . Tính giá trị $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)} .$