Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác \[ABC\] vuông cân tại \[B\], \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Gọi \[H\] là hình chiếu của \[A\] lên \[SB\].

a) Chứng minh rằng \[AH \bot \left( {SBC} \right)\].

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\], biết \[SA = AB = a\].

a) Ta có \[\left\{ \begin{gathered}

BC \bot SA \hfill \\

BC \bot AB \hfill \\

\end{gathered} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\].

Ta lại có \[\left\{ \begin{gathered}

AH \bot SB \hfill \\

AH \bot BC \hfill \\

\end{gathered} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\].

b) Gọi \[M\] là trung điểm của \[AC\] và \[N\] là hình chiếu của \[M\] trên \[SC\].

Ta có \[MB \bot AC \Rightarrow MB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow MB \bot SC\].

Từ đó suy ra $SC \bot \left( {MNB} \right)$ nên $SC \bot MN$.

Do đó \[\left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = \widehat {MNB}\].

Gọi \[K\] là hình chiếu của \[A\] lên \[SC\].

Ta tính được \[MB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]; \[AK = \frac{{SA \cdot AC}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \Rightarrow MN = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\].

Ta có \[\tan \widehat {MNB} = \frac{{MB}}{{MN}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 6 }}{6}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {MNB} = 60^\circ \].

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBC} \right)\] bằng \[60^\circ \].