Câu hỏi:
16/04/2024 110
Cho hình vuông \(\left( {{C_1}} \right)\) có cạnh bằng \(a.\) Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) (xem hình vẽ). Từ hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông \({C_1},\,\,{C_2},\,\,{C_3},\,...,\,{C_n},\,...\). Gọi \({S_i}\) là diện tích của hình vuông \({C_i}\,\,\left( {i \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,...} \right\}} \right)\). Đặt \(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\). Biết \(T = \frac{{32}}{3}\), tính \(a.\)
Câu hỏi trong đề:
Đề kiểm tra Cuối kì 1 Toán 11 Cánh Diều có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hình vuông đầu tiên \(\left( {{C_1}} \right)\) có cạnh bằng \(a\) và diện tích là \({S_1} = {a^2}\).
Từ đề bài, ta thấy cạnh của hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) là \({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}a} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).
Khi đó diện tích của hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) là \({S_2} = {\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = \frac{5}{8}{a^2} = \frac{5}{8}{S_1}\).
Cạnh của hình vuông \(\left( {{C_3}} \right)\) là \({a_3} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}{a_2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}{a_2}} \right)}^2}} = \frac{{{a_2}\sqrt {10} }}{4} = a{\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = \frac{5}{8}a.\)
Khi đó diện tích của hình vuông \(\left( {{C_3}} \right)\) là \({S_3} = {\left( {\frac{5}{8}a} \right)^2} = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^2}{a^2} = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^2}{S_1}.\)
Lý luận tương tự ta có \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,...,\,{S_n},\,...\) tạo thành một dãy cấp số nhân \({u_1} = {S_1} = {a^2}\) và công bội \(q = \frac{5}{8}\).
Vì \(\left| q \right| = \frac{5}{8} < 1\) nên \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,...,\,{S_n},\,...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = {S_1} = {a^2}\) và công bội \(q = \frac{5}{8}.\)
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này là
\(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\)\( = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{a^2}}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{8{a^2}}}{3}\).
Mà \(T = \frac{{32}}{3}\) nên \(\frac{{8{a^2}}}{3} = \frac{{32}}{3} \Leftrightarrow {a^2} = 4\). Suy ra \(a = 2\) (do độ dài cạnh là số dương).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Tập xác định của hàm số \[y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] là
Tập xác định của hàm số \[y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] là
Xem đáp án »
16/04/2024
927
Câu 4:
Cho tứ diện \(ABCD,\) vị trí tương đối của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) là
Cho tứ diện \(ABCD,\) vị trí tương đối của hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) là
Xem đáp án »
16/04/2024
560
Câu 5:
Cho \(\sin x = \frac{2}{3}\). Giá trị của biểu thức \(P = \sin 2x.\cos x\) bằng
Xem đáp án »
16/04/2024
381
Câu 7:
Cho hình lăng trụ \[ABC.{A_1}{B_1}{C_1}.\] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Cho hình lăng trụ \[ABC.{A_1}{B_1}{C_1}.\] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Xem đáp án »
16/04/2024
369
về câu hỏi!