Câu hỏi:

16/04/2024 573

Cho hình vuông \(\left( {{C_1}} \right)\) có cạnh bằng \(a.\) Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) (xem hình vẽ). Từ hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông \({C_1},\,\,{C_2},\,\,{C_3},\,...,\,{C_n},\,...\). Gọi \({S_i}\) là diện tích của hình vuông \({C_i}\,\,\left( {i \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,...} \right\}} \right)\). Đặt \(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\). Biết \(T = \frac{{32}}{3}\), tính \(a.\)
 

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hình vuông đầu tiên \(\left( {{C_1}} \right)\) có cạnh bằng \(a\) và diện tích là \({S_1} = {a^2}\).

Từ đề bài, ta thấy cạnh của hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\)\({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}a} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).

Khi đó diện tích của hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\)\({S_2} = {\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = \frac{5}{8}{a^2} = \frac{5}{8}{S_1}\).

Cạnh của hình vuông \(\left( {{C_3}} \right)\)\({a_3} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}{a_2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}{a_2}} \right)}^2}} = \frac{{{a_2}\sqrt {10} }}{4} = a{\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = \frac{5}{8}a.\)

Khi đó diện tích của hình vuông \(\left( {{C_3}} \right)\)\({S_3} = {\left( {\frac{5}{8}a} \right)^2} = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^2}{a^2} = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^2}{S_1}.\)

Lý luận tương tự ta có \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,...,\,{S_n},\,...\) tạo thành một dãy cấp số nhân \({u_1} = {S_1} = {a^2}\) và công bội \(q = \frac{5}{8}\).

\(\left| q \right| = \frac{5}{8} < 1\) nên \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,...,\,{S_n},\,...\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = {S_1} = {a^2}\) và công bội \(q = \frac{5}{8}.\)

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này là

\(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\)\( = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{a^2}}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{8{a^2}}}{3}\).

\(T = \frac{{32}}{3}\) nên \(\frac{{8{a^2}}}{3} = \frac{{32}}{3} \Leftrightarrow {a^2} = 4\). Suy ra \(a = 2\) (do độ dài cạnh là số dương).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Xem đáp án » 16/04/2024 3,065

Câu 2:

Cho hình lăng trụ \[ABC.{A_1}{B_1}{C_1}.\] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Xem đáp án » 16/04/2024 1,827

Câu 3:

Cho tứ diện \(ABCD,\) vị trí tương đối của hai đường thẳng \(AC\)\(BD\)

Xem đáp án » 16/04/2024 1,581

Câu 4:

Tập xác định của hàm số \[y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\]

Xem đáp án » 16/04/2024 1,442

Câu 5:

Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x + 1} \right)\)

Xem đáp án » 16/04/2024 1,182

Câu 6:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Xem đáp án » 16/04/2024 928

Câu 7:

Cho \(\sin x = \frac{2}{3}\). Giá trị của biểu thức \(P = \sin 2x.\cos x\) bằng

Xem đáp án » 16/04/2024 661

Bình luận


Bình luận
Vietjack official store