Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập \({\rm{A}}\). Chọn ngẫu nhiên một số từ tập \({\rm{S}}\), xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 được viết dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\) \(\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\).

Tổng \(a + b\) bằng _______

Đáp án: “28”

Phương pháp giải

Vì \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập \(A\)

Lời giải

Vì S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập \(A\) nên ta tính số phần tử thuộc tập \(S\) như sau:

+ Số các số thuộc \(S\) có 3 chữ số là \(A_5^3\).

+ Số các số thuộc \(S\) có 4 chữ số là \(A_5^4\).

+ Số các số thuộc \(S\) có 5 chữ số là \(A_5^5\).

Suy ra số phần tử của tập \(S\) là \(A_5^3 + A_5^4 + A_5^5 = 300\).

Số phần tử của không gian mẫu là \({n_{\rm{\Omega }}} = C_{300}^1 = 300\)

Gọi \(X\) là biến cố "Số được chọn có tổng các chữ số bằng 10 ". Các tập con của \(A\) có tổng số phần tử bằng 10 là \({A_1} = \left\{ {1;2;3;4} \right\},{A_2} = \left\{ {2;3;5} \right\},{A_3} = \left\{ {1;4;5} \right\}\).

+ Từ \({A_1}\) lập được các số thuộc \(S\) là 4!.

+ Từ \({A_2}\) lập được các số thuộc \(S\) là 3!.

+ Từ \({A_3}\) lập được các số thuộc \(S\) là 3!.

Suy ra số phần tử của biến cố \(X\) là \({n_X} = 4! + 3! + 3! = 36\).

Vậy xác suất cần tính \(P\left( X \right) = \frac{{{n_X}}}{{{n_{\rm{\Omega }}}}} = \frac{{36}}{{300}} = \frac{3}{{25}}\).