\(S\) là tập hợp các số nguyên \(m >  - 5\) sao cho phương trình \({(\sqrt 5  + 1)^x} + m{(\sqrt 5  - 1)^x} = {2^x}\) có đúng 1 nghiệm.

Tổng các giá trị của \(S\) là _______

Đáp án: “-9”

Phương pháp giải

- Đặt \(\frac{{{{(\sqrt 5  + 1)}^x}}}{{{2^x}}} = t \Rightarrow \frac{{{{(\sqrt 5  - 1)}^x}}}{{{2^x}}} = \frac{1}{t},(t > 0)\)

- Đưa về biện luận phương trình ẩn \(t\).

- Khảo sát hàm \(f\left( t \right)\)

Lời giải

Đặt \(\frac{{{{(\sqrt 5  + 1)}^x}}}{{{2^x}}} = t \Rightarrow \frac{{{{(\sqrt 5  - 1)}^x}}}{{{2^x}}} = \frac{1}{t},(t > 0)\)

Phương trình bài cho thành \(t + \frac{m}{t} = 1 \Leftrightarrow m =  - {t^2} + t\)

Để phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm thì \(m =  - {t^2} + t\) có đúng 1 nghiệm không âm hoặc có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm không âm.

Khảo sát hàm số \(f\left( t \right) =  - {t^2} + t\) ta được:

Để \(m =  - {t^2} + t\) có nghiệm thì \(m \le \frac{1}{4}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \le 0\).

Mặt khác \(m \le 0\) thì phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm dương.

Vậy \( - 5 < m \le 0 \Rightarrow  - 4 \le m \le 0 \Rightarrow \) Tổng các giá trị của \(S\) là: \( - 1 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) =  - 9\)