Ký hiệu \(h\left( t \right)\left( {{\rm{cm}}} \right)\)là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được \(t\) giây. Biết rằng \(h'\left( t \right) = \frac{1}{3}\sqrt[3]{{t + 8}}\) và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước \(L\left( {{\rm{cm}}} \right)\) ở bồn sau khi bơm nước được 19 giây. 

Đáp án: "2"

Phương pháp giải

- Tính đạo hàm và khảo sát hàm \(y = 2{x^3} - 3{x^2}\)

- Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của hai đồ thị: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( C \right):y = 2{x^3} - 3{x^2}}\\{d:y = 2m + 1}\end{array}} \right.\)

Lời giải

Xét hàm số: \(y = 2{x^3} - 3{x^2} \Rightarrow y' = 6{x^2} - 6x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow x = 0 \vee x = 1\).

Bảng biến thiên:

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của hai đồ thị: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( C \right):y = 2{x^3} - 3{x^2}}\\{d \cdot y = 2m + 1}\end{array}} \right.\)

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m + 1 =  - 1}\\{2m + 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 1}\\{m =  - \frac{1}{2}}\end{array} \Rightarrow S = \left\{ { - 1; - \frac{1}{2}} \right\}} \right.} \right.\).