Cho \(f\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt {x + 2}  - \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt {x + 1}  - \sqrt x }}\) xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Điền số thích hợp vào chỗ trống:

Giá trị của \(f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) +  \ldots  + f\left( {2023} \right)\) bằng _______

Giá trị của \(f'\left( 0 \right) + f'\left( 1 \right) +  \ldots  + f'\left( {2023} \right)\) bằng _______ 

(Phân số điền dưới dạng phân số tối giản a/b)

Đáp án:

Giá trị của \(f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) +  \ldots  + f\left( {2023} \right)\) bằng 44

Giá trị của \(f'\left( 0 \right) + f'\left( 1 \right) +  \ldots  + f'\left( {2023} \right)\) bằng -22/45 

(Phân số điền dưới dạng phân số tối giản a/b)

Phương pháp giải

Biến đổi \(f\left( x \right)\) bằng cách nhân liên hợp.

Tа сó:

\(\begin{array}{l}f(x) = \frac{2}{{\sqrt {x + 2}  - \sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt {x + 1}  - \sqrt x }}\\ = \sqrt {x + 2}  + \sqrt x  - (\sqrt {x + 1}  + \sqrt x )\\ = \sqrt {x + 2}  - \sqrt {x + 1} \end{array}\)

\(\begin{array}{l}f(0) + f(1) +  \ldots  + f(2023)\\ = \sqrt {0 + 2}  - \sqrt {0 + 1}  + \sqrt {1 + 2}  - \sqrt {1 + 1}  +  \ldots  + \sqrt {2022 + 2}  - \sqrt {2022 + 1}  + \sqrt {2023 + 2}  - \sqrt {2023 + 1} \\ = \sqrt 2  - \sqrt 1  + \sqrt 3  - \sqrt 2  +  \ldots  + \sqrt {2024}  - \sqrt {2023}  + \sqrt {2025}  - \sqrt {2024} \\ = \sqrt {2025}  - 1 = 44\end{array}\)

Giá trị của \(f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) +  \ldots  + f\left( {2023} \right)\) bằng: 44

\(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }} - \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}\)

\( = \frac{1}{2}.\left( {\frac{1}{{\sqrt {x + 2} }} - \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)\)

\(\begin{array}{l}f'(0) + f'(1) +  \ldots  + f'(2023)\\ = \frac{1}{2}.\left( { - \frac{1}{{\sqrt {0 + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {0 + 2} }} +  \ldots  - \frac{1}{{\sqrt {2023 + 1} }} + \frac{1}{{\sqrt {2023 + 2} }}} \right)\\ = \frac{1}{2}.\left( { - 1 + \frac{1}{{\sqrt {2023 + 2} }}} \right) = \frac{1}{2}.\left( { - 1 + \frac{1}{{45}}} \right)\\ =  - \frac{{22}}{{45}}\end{array}\)

Giá trị của \(f'\left( 0 \right) + f'\left( 1 \right) +  \ldots  + f'\left( {2023} \right)\) bằng: -22/45