Câu hỏi:
31/10/2024 43
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right) - f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^{3x}}\), với mọi \(x \in R\). Biết \(f\left( 0 \right) = \frac{5}{4}\), giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng:
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải
Bước 1: Nhân cả 2 vế với \({e^{ - x}}\) để đưa về đạo hàm tích
Bước 2: Ta tìm được muối liên hệ ở Bước 1 và tìm được \(f\left( x \right)\)
Bước 3: Thay dữ kiện đề bài để tìm giá trị của hằng số C
Bước 4: Tìm \(f\left( 1 \right)\)
Lời giải
Ta có:
\(f'\left( x \right) - f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^{3x}}\)
\( \Leftrightarrow {e^{ - x}}f'\left( x \right) - {e^{ - x}}f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^{2x}}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{e^{ - x}}f\left( x \right)} \right)^{\rm{'}}} = \left( {x + 1} \right){e^{2x}}\)
Khi đó:
\(\begin{array}{l}{e^{ - x}}f(x) = \int {(x + 1)} {e^{2x}}dx\\ = \int {\frac{1}{2}} (x + 1)d\left( {{e^{2x}}} \right)\\ = \frac{1}{2}(x + 1).{e^{2x}} - \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}} d(x + 1)\\ = \frac{1}{2}(x + 1).{e^{2x}} - \frac{1}{2}\int {{e^{2x}}} dx\\ = \frac{1}{2}(x + 1){e^{2x}} - \frac{1}{4}{e^{2x}} + C\end{array}\)
Do \(f\left( 0 \right) = \frac{5}{4}\) nên: \(\frac{1}{4} + C = \frac{5}{4} \Leftrightarrow C = 1\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {x + 1} \right){e^{3x}} - \frac{1}{4}{e^{3x}} + {e^x}\)
Vậy \(f\left( 1 \right) = \frac{3}{4}{e^3} + e\).
Chọn C
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Phần tư duy đọc hiểu
Từ đoạn số [1], cụ Kép nghĩ rằng mình không phù hợp để chơi hoa vì lí do nào sau đây?
Phần tư duy đọc hiểu
Từ đoạn số [1], cụ Kép nghĩ rằng mình không phù hợp để chơi hoa vì lí do nào sau đây?
Xem đáp án »
04/07/2024
1,897
Câu 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ \(\vec a = \left( {2; - 2; - 4} \right)\); \(\vec b = \left( {1; - 1;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai
Xem đáp án »
31/10/2024
424
Câu 5:
Chất nào là chất mà theo hai nhà khoa học phải có mặt để tạo ra CH3 từ metan trong bầu khí quyển?
Chất nào là chất mà theo hai nhà khoa học phải có mặt để tạo ra CH3 từ metan trong bầu khí quyển?
Xem đáp án »
04/07/2024
370
Câu 6:
Một hệ gồm 4 nam châm được sắp xếp như hình sau. Các nhận xét sau đây về tương tác giữa các nam châm là đúng?
Một hệ gồm 4 nam châm được sắp xếp như hình sau. Các nhận xét sau đây về tương tác giữa các nam châm là đúng?
Xem đáp án »
04/07/2024
285
Câu 7:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ
Hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {x^2}\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ
Hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {x^2}\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
Xem đáp án »
31/10/2024
276
về câu hỏi!