Ba tia \(Ox,Oy,Oz\) đôi một vuông góc, \(C\) là một điểm cố định trên \(Oz\), đặt \(OC = 1\). \(A,B\) thay đổi trên \(Ox,Oy\) sao cho \(OA + OB = OC\). Tính giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\). 

Phương pháp giải

- Xác định trục của đường tròn đáy.

- Xác định tâm mặt cầu.

- Tính bán kính mặt cầu theo \({\rm{OA}}\) và \({\rm{OB}}\).

- Sử dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {(ac + bd)^2}\)

Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu

Lời giải

* Dựng trục \(d\) của

\( \Rightarrow d\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\;qua\;}}H}\\{d \bot \left( {OAB} \right) \Rightarrow d//OC}\end{array}} \right.\) (với \(H\) là trung điểm của \(AB\))

* Kẻ trung trực \({\rm{\Delta }}\) của \(OC\) trong mặt phẳng \(\left( {OCH} \right)\) (\({\rm{\Delta }}\) qua trung điểm \({\rm{M}}\) của \({\rm{OC}}\))

\( \Rightarrow {\rm{\Delta }} \cap d = I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\)

* \(R = IO = \sqrt {I{H^2} + H{O^2}} \)

+ \(IH = MO = \frac{1}{2}OC = \frac{{OC}}{2}\)

+ \(HO = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} \)

\( \Rightarrow R = \sqrt {\frac{{O{C^2}}}{4} + \frac{{O{A^2} + O{B^2}}}{4}}  = \frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2} + O{C^2}} \)\( = \underbrace {\frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2} + 1} }_{\min }\)

(Với \(OA + OB = OC = 1\))

Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {(ac + bd)^2}\)

Dấu "\( = \)" xảy ra khi \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)

\( \Rightarrow \left( {O{A^2} + O{B^2}} \right)\left( {{1^2} + {1^2}} \right) \ge \underbrace {\left( {OA\mathop  + \limits^2 OB} \right)}_{ = 1}\)

\( \Rightarrow O{A^2} + O{B^2} \ge \frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{1} \Rightarrow OA = OB = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow {R_{{\rm{min}}}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 1}  = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\).

 Chọn A