Câu hỏi:
31/10/2024 146
Ba tia \(Ox,Oy,Oz\) đôi một vuông góc, \(C\) là một điểm cố định trên \(Oz\), đặt \(OC = 1\). \(A,B\) thay đổi trên \(Ox,Oy\) sao cho \(OA + OB = OC\). Tính giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\).
Đáp án chính xác
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải
- Xác định trục của đường tròn đáy.
- Xác định tâm mặt cầu.
- Tính bán kính mặt cầu theo \({\rm{OA}}\) và \({\rm{OB}}\).
- Sử dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {(ac + bd)^2}\)
Công thức tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu
Lời giải
* Dựng trục \(d\) của
\( \Rightarrow d\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\;qua\;}}H}\\{d \bot \left( {OAB} \right) \Rightarrow d//OC}\end{array}} \right.\) (với \(H\) là trung điểm của \(AB\))
* Kẻ trung trực \({\rm{\Delta }}\) của \(OC\) trong mặt phẳng \(\left( {OCH} \right)\) (\({\rm{\Delta }}\) qua trung điểm \({\rm{M}}\) của \({\rm{OC}}\))
\( \Rightarrow {\rm{\Delta }} \cap d = I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(OABC\)
* \(R = IO = \sqrt {I{H^2} + H{O^2}} \)
+ \(IH = MO = \frac{1}{2}OC = \frac{{OC}}{2}\)
+ \(HO = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} \)
\( \Rightarrow R = \sqrt {\frac{{O{C^2}}}{4} + \frac{{O{A^2} + O{B^2}}}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2} + O{C^2}} \)\( = \underbrace {\frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2} + 1} }_{\min }\)
(Với \(OA + OB = OC = 1\))
Theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki: \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right) \ge {(ac + bd)^2}\)
Dấu "\( = \)" xảy ra khi \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\)
\( \Rightarrow \left( {O{A^2} + O{B^2}} \right)\left( {{1^2} + {1^2}} \right) \ge \underbrace {\left( {OA\mathop + \limits^2 OB} \right)}_{ = 1}\)
\( \Rightarrow O{A^2} + O{B^2} \ge \frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{1} \Rightarrow OA = OB = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow {R_{{\rm{min}}}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 1} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\).
Chọn A
Nhà sách vietjack
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ \(\vec a = \left( {2; - 2; - 4} \right)\); \(\vec b = \left( {1; - 1;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai
Xem đáp án »
31/10/2024
4,085
Câu 2:
Phần tư duy đọc hiểu
Từ đoạn số [1], cụ Kép nghĩ rằng mình không phù hợp để chơi hoa vì lí do nào sau đây?
Phần tư duy đọc hiểu
Từ đoạn số [1], cụ Kép nghĩ rằng mình không phù hợp để chơi hoa vì lí do nào sau đây?
Xem đáp án »
04/07/2024
3,419
Câu 3:
Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và trong đó có đúng một chữ số lẻ?
Đáp án: ______
Có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau và trong đó có đúng một chữ số lẻ?
Đáp án: ______
Xem đáp án »
31/10/2024
2,150
Câu 4:
Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(2{x^3} - 3{x^2} = 2m + 1\) có đúng hai nghiệm phân biệt.
Số phần tử của \(S\) là _______
Gọi \(S\) là tập tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(2{x^3} - 3{x^2} = 2m + 1\) có đúng hai nghiệm phân biệt.
Số phần tử của \(S\) là _______
Xem đáp án »
31/10/2024
1,869
Câu 6:
Người ta thả một ít lá bèo vào hồ nước. Biết rằng sau 1 ngày, bèo sẽ sinh sôi kín cả mặt hồ và sau mỗi giờ, lượng lá bèo tăng gấp đôi so với trước đó và tốc độ tăng không đổi. Hỏi sau mấy giờ thì lá bèo phủ kín \(\frac{1}{3}\) hồ?
Xem đáp án »
31/10/2024
1,190
Câu 7:
Phần tư duy khoa học / giải quyết vấn đề
Điền các cụm từ thích hợp vào chỗ trống.
- Khi dịch hai khe lại gần màn chắn thì khoảng vân sẽ _______
- Khi giảm khoảng cách hai khe thì khoảng vân sẽ _______
Xem đáp án »
12/07/2024
1,002
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 2)
-
Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2023 - 2024 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 24)
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 4)
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 15)
-
ĐGTD ĐH Bách khoa - Đọc hiểu chủ đề môi trường - Đề 1
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 3)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận