Câu hỏi:
31/10/2024 551
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + 2 = 0\), hai điểm \(A\left( { - 1;0;0} \right),B\left( {1;0;1} \right)\). Gọi \(M\) là điểm di động trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho các đường thẳng \(MA,MB\) cùng tạo với mặt phẳng \(\left( P \right)\) các góc bằng nhau. Biết độ dài lớn nhất của \(O{M^2}\) có dạng \(\frac{{a + 24\sqrt b }}{c},\left( {a,b,c \in \mathbb{N}*} \right)\). Tính tổng \(a + b + c\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải
+ Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) và \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) lên \({\rm{mp}}\left( P \right)\).
+ Chứng minh \(M\) luôn thuộc một đường tròn cố định.
+ Gọi \(E\) là hình chiếu của \(I\) lên \(\left( P \right)\), tìm \(E\).
+ Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \({\rm{mp}}\left( P \right)\), tìm \(H\).
+ vì \(O{M^2} = O{H^2} + H{M^2}\) nên \(OM_{{\rm{max}}}^2 \Leftrightarrow HM_{{\rm{max}}}^2\), tính \(O{M^2}\) max.
Phương pháp giải các bài toán về mặt cầu và mặt phẳng
Lời giải
Nhận thấy đường thẳng \(AB\) không vuông góc với \({\rm{mp}}\left( P \right)\) và
\(\left( { - 1 + 0 - 0 + 2} \right).\left( {1 + 0 - 1 + 2} \right) > 0\) nên \(A,B\) nằm cùng phía so với \(\left( P \right)\).
Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) và \(A',B'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) lên \({\rm{mp}}\left( P \right)\).
Vì các đường thẳng \(MA,MB\) cùng tạo với \({\rm{mp}}\left( P \right)\) các góc bằng nhau nên \(\widehat {AMA'} = \widehat {BMB'}\)
\( \Rightarrow {\rm{\Delta }}AMA'\,\,{\rm{\Delta }}BMB' \Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AA'}}{{BB'}} = \frac{{d\left( {A,\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( P \right)} \right)}} = \frac{{\left| { - 1 + 2} \right|}}{{\left| {1 - 1 + 2} \right|}} = \frac{1}{2}\)
\( \Leftrightarrow MB = 2MA \Leftrightarrow M{B^2} = 4M{A^2} \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2}\)
\( = 4\left[ {{{(x + 1)}^2} + {y^2} + {z^2}} \right]\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 10x + 2z + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{{10}}{3}x + \frac{2}{3}z + \frac{2}{3} = 0\).
Suy ra \(M\) nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( { - \frac{5}{3};0; - \frac{1}{3}} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{{\left( { - \frac{5}{3}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{3}} \right)}^2} - \frac{2}{3}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{3}\).
Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in \left( P \right)}\\{M \in \left( S \right)}\end{array} \Rightarrow M \in \left( C \right)} \right.\), với \(\left( C \right) = \left( P \right) \cap \left( S \right)\).
Ta có \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - \frac{5}{3} + \frac{1}{3} + 2} \right|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{2}{{3\sqrt 3 }}\).
Gọi \(E\) là hình chiếu của \(I\) lên \(\left( P \right)\).
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm là \(E\) và bán kính bằng \(r = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)} = \)\(\sqrt {\frac{{20}}{9} - \frac{4}{{27}}} = \frac{{2\sqrt {42} }}{9}\).
Đường thẳng \(IE\) đi qua điểm \(I\) nhận vectơ pháp tuyến của \({\rm{mp}}\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình \(IE:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{5}{3} + t}\\{y = t}\\{z = - \frac{1}{3} - t}\end{array} \Rightarrow E\left( { - \frac{5}{3} + t;t; - \frac{1}{3} - t} \right)} \right.\).
\(E \in \left( P \right) \Leftrightarrow - \frac{5}{3} + t + t + \frac{1}{3} + t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{2}{9} \Leftrightarrow E\left( { - \frac{{17}}{9}; - \frac{2}{9}; - \frac{1}{9}} \right)\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \({\rm{mp}}\left( P \right)\).
Phương trình đường thẳng \(OH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t'}\\{y = t'}\\{z = - t'}\end{array} \Rightarrow H\left( {t';t'; - t'} \right)} \right.\).
\(H\left( {t';t'; - t'} \right) \in \left( P \right) \Leftrightarrow t' + t' + t' + 2 = 0 \Leftrightarrow t' = - \frac{2}{3} \Leftrightarrow H\left( { - \frac{2}{3}; - \frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\).
\(\overrightarrow {HE} = \left( { - \frac{{11}}{9};\frac{4}{9}; - \frac{7}{9}} \right) \Rightarrow HE = \sqrt {\frac{{121}}{{81}} + \frac{{16}}{{81}} + \frac{{49}}{{81}}} = \frac{{\sqrt {186} }}{9}\).
vì \(O{M^2} = O{H^2} + H{M^2}\) nên \(OM_{{\rm{max}}}^2 \Leftrightarrow HM_{{\rm{max}}}^2\)
Mà \(H{M_{{\rm{max}}}} = HE + r = \frac{{\sqrt {186} + 2\sqrt {42} }}{9}\).
Suy ra \(OM_{{\rm{max}}}^2 = \frac{4}{3} + {\left( {\frac{{\sqrt {186} + 2\sqrt {42} }}{9}} \right)^2} = \frac{4}{3} + \frac{{354 + 24\sqrt {217} }}{{81}} = \frac{{462 + 24\sqrt {217} }}{{81}}\).
Do đó \(a = 462,b = 217,c = 81\).
Vậy \(a + b + c = 760\).
Chọn C
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Phương pháp giải
Xét tính đúng, sai cho từng đáp án, dựa vào các công thức cộng véc tơ, độ dài véc tơ, các tính chất hai véc tơ cùng phương, hai véc tơ vuông góc.
Tọa độ véc tơ
Lời giải
\(\vec a + \vec b = \left( {2 + 1; - 2 - 1; - 4 + 1} \right) = \left( {3; - 3; - 3} \right)\) nên A đúng.
\(\vec a.\vec b = 2.1 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right).1 = 0\) nên \(\vec a \bot \vec b\) hay B đúng.
\(\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \) nên C đúng.
Vì \(\frac{2}{1} = \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 4}}{1}\) nên \(\vec a\) và \(\vec b\) không cùng phương hay D sai.
Lời giải
Phương pháp giải
Căn cứ vào nội dung đoạn số [1].
Lời giải
- Đáp án A sai vì đây là lời giới thiệu về cụ Kép chứ không phải lí do cho việc cụ không phù hợp để chơi hoa.
- Đáp án B đúng vì theo đoạn [1] có viết “Nhưng nghĩ rằng mình chỉ là một anh nhà nho sống vào giữa buổi Tây Tàu nhố nhăng làm lạc mất cả quan niệm cũ, làm tiêu hao mất bao nhiêu giá trị tinh thần; nhưng nghĩ mình chỉ là một kẻ chọn nhầm thế kỷ với hai bàn tay không có lợi khí mới, thì riêng lo cho thân thế, lo cho sự mất còn của mình cũng chưa xong, nói chi đến chuyện chơi hoa”. Có thể thấy, cụm từ “mình chỉ là…nói chi đến chuyện chơi hoa” đã khẳng định trước đây cụ Kép cho rằng mình không phù hợp chơi hoa vì lí do như đáp án B đề cập.
- Đáp án C sai vì đây là điều kiện đặt ra với một người chơi hoa là phải có thời gian để săn sóc hoa.
- Đáp án D sai vì ý này nói tới thái độ, cách ứng xử của con người đối với việc chăm hoa.
Chọn B
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 24)
-
Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 18)
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 2)
-
Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 29)
-
ĐGTD ĐH Bách khoa - Tư duy Toán học - Xác suất của biến cố và các quy tắc tính xác suất
-
Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 6)
-
Đề thi thử đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội năm 2024 có đáp án (Đề 8)