Một tam giác có chu vi bằng 8 (đơn vị) và độ dài các cạnh là các số nguyên. Diện tích của tam giác là 

Phương pháp giải

Bước 1: Gọi các cạnh của tam giác lần lượt là \(a,b,c\left( {a,b,c \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\).

Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm điều kiện của các cạnh.

Bước 3: Tìm bộ ba số \(\left( {a,b,c} \right)\).

Bước 4: Sử dụng công thức Hê-rông để tính diện tích của tam giác.

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) với \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\)

Lời giải

Bước 1:

Gọi các cạnh của tam giác lần lượt là \(a,b,c\left( {a,b,c \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\).

Bước 2:

Theo bất đẳng thức tam giác ta có

\(2a < a + b + c = 8 \Rightarrow a < 4 \Leftrightarrow a \le 3\)

Lập luận tương tự ta có: \(b \le 3,c \le 3\).

Vì \(a \le 3,b \le 3 \Rightarrow a + b \le 6\).

Ta lại có:

\(a + b + c = 8 \Rightarrow c = 8 - \left( {a + b} \right)\)

\( \Rightarrow c \ge 8 - 6 = 2\)

Lập luận tương tự ta có: \(a \ge 2,b \ge 2\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a,b,c \in \mathbb{N}}\\{2 \le a,b,c \le 3}\\{a + b + c = 8}\end{array}} \right.\)

Bước 3:

Khi đó cả 3 số không đồng thời bằng 2 được và cũng không thể đồng thời bằng 3 được.

=> Có ít nhất 1 số bằng 3, giả sử là \({\rm{a}}\).

Để tổng chẵn thì một số khác cũng phải bằng 3 , giả sử là b.

Vậy số cuối cùng \(c = 2\).

Bước 4:

Theo công thức Hê - rông ta có diện tích của tam giác là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

\(\; = \sqrt {4.1.1.2}  = 2\sqrt 2 \)

với \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = 4\).

 Chọn A