Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có tất cả các số hạng đều dương thỏa mãn điều kiện \({u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{2018}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{1009}}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = {\rm{log}}_3^2{u_2} + {\rm{log}}_3^2{u_5} + {\rm{log}}_3^2{u_{14}}\) bằng

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có \({S_{2018}} = \frac{{2018}}{2}\left( {2{u_1} + 2017d} \right),{S_{1009}} = \frac{{1009}}{2}\left( {2{u_1} + 1008d} \right)\).

Theo giả thiết, ta có \({u_1} + {u_2} +  \ldots  + {u_{2018}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} +  \ldots  + {u_{1009}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2018}}{2}\left( {2{u_1} + 2017d} \right) = 4.\frac{{1009}}{2}\left( {2{u_1} + 1008d} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{u_1} + 2017d = 2\left( {2{u_1} + 1008d} \right) \Leftrightarrow {u_1} = \frac{d}{2}\)

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right):\frac{d}{2},\frac{{3d}}{2},\frac{{5d}}{2}, \ldots \)

Ta có \(P = {\rm{log}}_3^2{u_2} + {\rm{log}}_3^2{u_5} + {\rm{log}}_3^2{u_{14}} = {\rm{log}}_3^2\frac{{3d}}{2} + {\rm{log}}_3^2\frac{{9d}}{2} + {\rm{log}}_3^2\frac{{27d}}{2}\)

\( = {\left( {1 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{d}{2}} \right)^2} + {\left( {2 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{d}{2}} \right)^2} + {\left( {3 + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{d}{2}} \right)^2}\)

Đặt \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{d}{2} = x\) thì \(P = {(1 + x)^2} + {(2 + x)^2} + {(3 + x)^2} = 3{x^2} + 12x + 14 \ge 2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x =  - 2 \Leftrightarrow d = \frac{2}{9}\). Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng 2 .

 Chọn D