Xét các số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(\left| {z - 4 - 3i} \right| = 2\sqrt 5 \) và biểu thức \(P = \left| {z + 4 - 7i} \right| + 2\left| {\bar z - 2 + 9i} \right|\).

Kéo ô thích hợp thả vào vị trí tương ứng để hoàn thành các câu sau

Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn có bán kính bằng _______

Khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của \[{a^2} + {b^2}\] bằng _______

Đáp án

Tập hợp điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn có bán kính bằng \(2\sqrt 5 \)

Khi P đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của \[{a^2} + {b^2}\] bằng 53

Phương pháp giải

- Ta có: \(P = \left| {z + 4 - 7i} \right| + 2\left| {\bar z - 2 + 9i\left|  =  \right|z + 4 - 7i\left| { + 2} \right|z - 2 - 9i} \right|\).

- Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)

Lời giải

Ta có: \(P = \left| {z + 4 - 7i} \right| + 2\left| {\bar z - 2 + 9i\left|  =  \right|z + 4 - 7i\left| { + 2} \right|z - 2 - 9i} \right|\).

Gọi \(M\left( {a;b} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow M \in \left( C \right)\) với \(\left( C \right)\) là đường tròn tâm \(I\left( {4;3} \right)\), bán kính \(R = 2\sqrt 5 \).

\(A\left( { - 4;7} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1} =  - 4 + 7i;\) \(B\left( {2;9} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \({z_2} = 2 + 9i\), khi đó \(P = MA + 2MB\).

Ta có: \(IB = 2\sqrt {10}  > R \Rightarrow B\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\).

Ta có: \(IA = 4\sqrt 5  = 2R\), xét \(E\) sao cho \(\overrightarrow {IE}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {IA}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{IE = \frac{1}{2}R}\\{E\left( {2;4} \right)}\end{array}} \right.\) và \(E\) nằm trong \(\left( C \right)\).

Trường hợp 1: \(M \in IA\). Dễ thấy: \(MA = 2ME\).

Trường hợp 2: \(M \notin IA\), xét và có \(\frac{{EI}}{{MI}} = \frac{{IM}}{{IA}} = \frac{1}{2},\widehat {MIE} = \widehat {MIA} \Rightarrow {\rm{\Delta }}EIM\) đồng dạng với suy ra \(\frac{{ME}}{{MA}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow MA = 2ME\).

Từ đó suy ra: \(MA = 2ME\,\,\forall M \in \left( C \right)\).

Khi đó: \(P = 2\left( {ME + MB} \right) \ge 2EB = 10\).

Suy ra \({\rm{Min}}P = 10\) khi \({\rm{M}}\) là giao điểm của đường thẳng \({\rm{EB}}\) với đường tròn \(\left( C \right)(M\) nằm giữa \({\rm{E}},{\rm{B}})\).

Phương trình \(EB:x = 2\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(\left( {2;7} \right);\left( {2; - 1} \right)\).

Vì \(M\) nằm giữa \(E,B \Rightarrow M\left( {2;7} \right)\) là điểm cần tìm.

Suy ra \(a = 2,b = 7 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 53\).