Cho một tấm nhôm hình chữ nhật có kích thước \[15\,{\rm{cm}} \times 24\,{\rm{cm}}\]. Người ta cắt bỏ 4 góc của tấm tôn 4 miếng hình vuông bằng nhau rồi gò lại thành một hình hộp chữ nhật không có nắp. Để thể tích của hình hộp đó lớn nhất thì độ dài cạnh hình vuông của các miếng tôn bị cắt bỏ bằng bao nhiêu?

a) S, b) S, c) S, d) Đ

a) Vì từ đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right) \ge 0\) với \(\forall x \ge 1\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

b) Vì từ đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) chỉ đổi dấu một lần qua \(x = 1\) nên hàm số có một điểm cực trị.

c) Từ đồ thị ta có hàm số \(f'\left( x \right)\) có dạng: \(f'\left( x \right) = a{\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\).

Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) đi qua \(\left( {0; - 4} \right)\) nên: \( - 4 = a{\left( {0 + 2} \right)^2}\left( {0 - 1} \right) \Leftrightarrow a = 1\).

Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right) \Rightarrow f'\left( 2 \right) = {\left( {2 + 2} \right)^2}\left( {2 - 1} \right) = 16\).

d) Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1\).

Vẽ đường thẳng \(y = x - 1\) trên cùng hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\).

Khi đó: \(f'\left( x \right) = x - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\).

Ta có hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 1} \right)\) nên \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{5}{2}; - \frac{3}{2}} \right)\).

Lợi nhuận doanh nghiệp thu được là \(h\left( x \right) = \left( {2000x - {x^2}} \right) - \left( {{x^2} + 1440x + 50} \right) - tx\)

\( =  - 2{x^2} + \left( {560 - t} \right)x - 50\) với \(0 < x \le 2000\).

Xét hàm \(h\left( x \right) =  - 2{x^2} + \left( {560 - t} \right)x - 50\) với \(0 < x \le 2000\).

Ta có \(h'\left( x \right) =  - 4x + 560 - t = 0 \Rightarrow x = \frac{{560 - t}}{4} \in \left( {0;2000} \right)\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy lợi nhuận doanh nghiệp cao nhất tại \(x = \frac{{560 - t}}{4}\).

Khi đó số tiền thuế thu được từ doanh nghiệp là \(k\left( t \right) = \frac{{560 - t}}{4}.t =  - \frac{{{t^2}}}{4} + \frac{{560}}{4}t\) với \(0 < t < 300\).

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là \(t = 280 \Rightarrow x = 70\) sản phẩm.

Vậy mức thuế phụ thu là 2800000 đồng/ sản phẩm, doanh nghiệp sản xuất và bán hết 70 sản phẩm.