Câu hỏi:

12/01/2025 5,251

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\), góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính cosin góc giữa \(AC\) và \(\left( {SBD} \right)\).

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Cho hình chóp tứ giác  S . A B C D  có đáy  A B C D  là hình vuông cạnh  2 a ,  S A  vuông góc với mặt đáy  ( A B C D ) , góc giữa  S B  và mặt phẳng  ( A B C D )  bằng  60 ∘ . Tính cosin góc giữa  A C  và  ( S B D ) . (ảnh 1)

Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) suy ra \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Do đó \(\left( {SB,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \).

Hạ \(AH \bot SO\) (1).

Ta có \(BD \bot AC\) và \(BD \bot SA\) suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\). Do đó \(BD \bot AH\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(AH \bot \left( {SBD} \right)\). Suy ra \(\left( {AC,\left( {SBD} \right)} \right) = \left( {AC,SO} \right) = \widehat {SOA}\).

Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\). Suy ra \(AC = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AO = a\sqrt 2 \).

Xét \(\Delta SAB\) có \(SA = AB.\tan \widehat B = 2a.\tan 60^\circ = 2a\sqrt 3 \).

Xét \(\Delta SAO\) có \(SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}} = \sqrt {12{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt {14} \).

Suy ra \(\cos \widehat {SOA} = \frac{{AO}}{{SO}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt {14} }} = \frac{{\sqrt 7 }}{7}\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

Cho hình chóp  S . A B C D  có đáy là hình chữ nhật và  S A  vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi  H , K  theo thứ tự là hình chiếu của  A  trên các cạnh  S B , S D . (ảnh 1)

a) Vì

\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).

b) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\left( {{\rm{do}}\;SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot \left( {SAD} \right)\\SD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot SD\) hay tam giác \(SCD\) vuông tại \(D\).

c) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA(\;{\rm{do}}\;SA \bot \left( {ABCD} \right))\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\left( {{\rm{do}}\;BC \bot \left( {SAB} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\)(1).

Tương tự \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SD\\AK \bot CD\left( {{\rm{do}}\;CD \bot \left( {SAD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AK \bot SC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot \left( {AHK} \right)\).

d) Vì \(SC \bot \left( {AHK} \right)\) mà \(HK \subset \left( {AHK} \right)\) nên \(HK \bot SC\).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Xác suất để cả hai động cơ chạy tốt là: \(P = 0,8.0,7 = 0,56\).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP