Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)có \(AB = 6{\rm{ cm}}\), \(AC = 8{\rm{ cm}}\).

a) Tính độ dài cạnh \(BC\).

b) Vẽ đường cao \(AH\). Chứng minh rằng .

c) Trên cạnh \(AH\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = 3,2{\rm{ cm}}\), từ điểm \(M\) kẻ đường thẳng \(d\) song song với \(BC\) lần lượt cắt \(AB,AC\) tại \(E,F\). Tính \(\frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABC}}}}\).

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), theo định lí Pythagore, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\).

Suy ra \(BC = 10{\rm{ cm}}\).

b) Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACB}\) là góc chung.

Do đó,  (g.g)

c) Vì  (cmt), ta có:

\(\frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{BC}}{{AC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) hay \(\frac{6}{{AH}} = \frac{{10}}{8}\) suy ra \(AH = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8\) cm.

\(\frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{AC}}{{HC}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) hay \(\frac{6}{{4,8}} = \frac{{10}}{{HC}}\), suy ra \(CH = \frac{{4,8.8}}{6} = 6,4\) cm.

Ta có: \(BC = HB + HC\), suy ra \(HB = BC - HC = 10 - 6,4 = 3,6\) cm.

Vì \(EF\parallel BC\) nên  (định lí), do đó \(\frac{{EM}}{{BH}} = \frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{3,2}}{{4,8}} = \frac{2}{3}\).

Tương tự, ta có  (định lí), do đó \(\frac{{MF}}{{HC}} = \frac{{AM}}{{AH}} = \frac{2}{3}\).

Do đó, \(EF = EM + MF = \frac{2}{3}BH + \frac{2}{3}HC = \frac{2}{3}\left( {BH + HC} \right) = \frac{2}{3}BC\).

Suy ra \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{2}{3}\).

Vì \(EF\parallel BC\) và \(AH \bot BC\) nên \(AH \bot EF\).

Ta có: \(\frac{{{S_{AEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AM.EF}}{{\frac{1}{2}AH.BC}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}\).