Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AB = 6{\rm{ cm,}}\) \(AC = 8{\rm{ cm}}\). Kẻ đường cao \(AH\). Gọi \(M,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(AB,AC\).

a) Tính độ dài cạnh \(BC\).

b) Chứng minh \(AH.BC = AB.AC\) và .

c) Tính diện tích tứ giác \(BMNC\).

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí Pythagore vào \(\Delta ABC\), ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\({6^2} + {8^2} = B{C^2}\)

\(B{C^2} = 100\) nên \(BC = 10{\rm{ cm}}\).

b) Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta CAB\) có \(\widehat {BAC} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) và \(\widehat {ABC} = \widehat {ABH}\) (góc chung)

Suy ra  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CB}} = \frac{{AB}}{{CA}}\) hay \(AH.BC = AB.AC\).

Từ giả thiết, ta có: \(\widehat {CAB} = \widehat {HMA} = \widehat {HNA} = 90^\circ \) nên \(AMHN\) là hình chữ nhật.

Do \(AMHN\) là hình chữ nhật nên ta có \(\widehat {ANM} = \widehat {AHM}\) (so le trong)

Mặt khác \(\widehat {AHM} = \widehat {ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat {HAB}\))

Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {ABC}\)

Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta ACB\) có: \(\widehat {MAN} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) và \(\widehat {ANM} = \widehat {ABC}\) (cmt)

Suy ra  (g.g)

c) Do  nên ta có: \(\frac{{{S_{ANM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{M{N^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{A{H^2}}}{{B{C^2}}}\)

(do \(AMHN\) là hình chữ nhật nên \(AH = MN\)).

Ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = 24{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Lại có, \(AH.BC = AB.AC\) nên \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8\) cm.

Do đó, \(\frac{{{S_{ANM}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{A{H^2}}}{{B{C^2}}} = \frac{{4,{8^2}}}{{{{10}^2}}} = 0,2304\) suy ra \({S_{ANM}} = 0,2304.{S_{ABC}} = 5,5296{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).

Ta có: \({S_{ANM}} + {S_{BMNC}} = {S_{ABC}}\) nên \({S_{BMNC}} = {S_{ABC}} - {S_{AMN}} = 24 - 5,5296 = 18,4704{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Vậy \({S_{BMNC}} = 18,4704{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).