Cho $\Delta ABC$ có các đường trung tuyến $BD,CE$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $BE,CD$. Gọi $I,K$ theo thứ tự là giao điểm của $MN$ với $BD$ và $CE$. Chứng minh rằng:

a) $DE\parallel BC$.

b) $MN\parallel BC.$

c) $MI = IK = KN.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$Cho $\Delta ABC$ có các đường trung tuyến $BD,CE$. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $BE,CD$. (ảnh 1)$

a) Trong $\Delta ABC$ có các đường trung tuyến $BD,CE$ nên $D$ là trung điểm của $AC$, $E$ là trung điểm của $AB$ nên $ED$ là đường trung bình của $\Delta ABC$.

Suy ra $ED = \frac{1}{2}BD$ và $ED\parallel BC$ (tính chất đường trung bình của tam giác)

b) Ta có: $E$ là trung điểm của $AB$ nên $AE = EB = \frac{1}{2}AB.$

Mà $M$ là trung điểm của $EB$ nên $EM = MB = \frac{1}{2}EB = \frac{1}{4}AB$ hay $\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{1}{4}$.

Lại có $N$ là trung điểm của $CD$ nên $NC = DN = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{4}AC$ hay $\frac{{NC}}{{AC}} = \frac{1}{4}$.

Suy ra $\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}} = \frac{1}{4}$.

Xét $\Delta ABC$ có $\frac{{MB}}{{AB}} = \frac{{NC}}{{AC}}$ nên $MN\parallel BC$ (định lí Thalès đảo).

c) Ta có $MN\parallel BC$ (câu b) và $ED\parallel BC$ (câu a) nên $ED\parallel MN\parallel BC$.

Xét $\Delta BDE$ có $M$ là trung điểm của $EB$ và $MI\parallel ED$ (do $ED\parallel MN\parallel BC$).

Suy ra $I$ là trung điểm của $BD$ hay $IB = ID$.

Khi đó $MI$ là đường trung bình của $\Delta BDE$ nên $MI = \frac{1}{2}ED$.

Xét $\Delta CDE$ ta cũng có $N$ là trung điểm của $CD$ và $NK\parallel ED$ (do $ED\parallel MN\parallel BC$)

Suy ra $K$ là trung điểm của $EC$ hay $EK = KC$.

Khi đó, $KN$ là đường trung bình của $\Delta CDE$ nên $NK = \frac{1}{2}ED$, trong $\Delta CBE$ có $MK = \frac{1}{2}BC$.

Ta có: $IK = MK - MI = \frac{1}{2}BC - \frac{1}{2}ED = ED - \frac{1}{2}DE = \frac{1}{2}DE$.

Do đó, $MI = IK = KN.$

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một cửa hàng quần áo đưa ra chương trình khuyến mãi giảm giá một số mặt hàng sau: Quần Âu giảm giá $25\% $, áo sơ mi giảm giá $35\% $, áo khoác giảm giá $20\% $ và quần Jeans giảm giá $10\% $.

a) Trong các mặt hàng trên, mặt hàng nào được giảm giá nhiều nhất, ít nhất và với mức giảm giá bao nhiêu phần trăm? Hãy vẽ biểu đồ biểu diễn các mặt hàng khuyến mãi đó.

b) Mẹ An đã mua hai chiếc áo sơ mi với giá mỗi chiếc áo sau khi giảm giá là $325{\rm{ 000}}$ đồng và $4$ chiếc quần Âu. Tổng số tiền mà mẹ An thanh toán tại quầy là $1{\rm{ }}850{\rm{ }}000$ đồng. Em hãy tính xem mỗi chiếc áo sơ mi và quần Âu nguyên giá là bao nhiêu tiền?

Xem đáp án

Lời giải

a) Trong các mặt hàng trên, sản phẩm được giảm giá nhiều nhất là áo sơ mi giảm $35\% $, sản phẩm được giảm giá ít nhất là quần Jeans giảm $10\% $.

Ta có biểu đồ biểu diễn các mặt hàng giảm giá là

Một cửa hàng quần áo đưa ra chương trình khuyến mãi giảm giá một số mặt hàng sau: Quần Âu giảm giá (ảnh 1)

b) Theo đề, áo sơ mi giảm giá $35\% $, giá sau giảm là $325{\rm{ 000}}$ đồng. do đó, mỗi chiếc áo sơ mi nguyên giá sẽ là $325{\rm{ 000:}}\left( {100\% - 25\% } \right) = 500{\rm{ }}000$ đồng.

Giá một chiếc quần Âu sau khi giảm là $\frac{{1{\rm{ }}850{\rm{ }}000 - 325{\rm{ }}000}}{4} = 300{\rm{ }}000$ (đồng)

Giá của chiếc quần Âu trước khi giảm là: $300{\rm{ }}000:\left( {100\% - 25\% } \right) = 400{\rm{ }}000$ đồng.

Câu 2