Câu hỏi:

15/02/2025 164

Cho \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến \(AM\), đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) cắt \(AB\)\(D\), đường phân giác của \(\widehat {AMC}\) cắt \(AC\)\(E\).

a) Chứng minh \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AD}}{{BD}}\).

b) Chứng minh \(DE\parallel BC\)\(AD.AC = AE.AB\).

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(DE\). Chứng minh ba điểm \(A,I,M\) thẳng hàng.

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa... kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 70k).

Tổng ôn Toán-lý hóa Văn-sử-đia Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM , đường phân giác của góc AMB  cắt  AB ở D (ảnh 1)

a) Xét \(\Delta ABM\)\(MD\) là phân giác của \(\widehat {AMB}\) nên \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác).

b) Xét \(\Delta AMC\)\(ME\) là phân giác của \(\widehat {AMC}\) nên \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AE}}{{CE}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Từ phần a) ta có: \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) nên suy ra \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{CE}}\).

Do đó, \(DE\parallel BC\) (định lí Thalès đảo)

Ta có: \(\Delta ABC\)\(DE\parallel BC\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\).

Suy ra \(AD.AC = AE.AB\) (đpcm).

c) Gọi \(I'\) là giao điểm của \(AM\)\(DE\).

Ta có \(DI'\parallel BM\) suy ra \(\frac{{DI' & }}{{BM}} = \frac{{AI'}}{{AM}}\) (Hệ quả của định lí Thalès) (1)

         \(EI'\parallel CM\) suy ra \(\frac{{EI' & }}{{CM}} = \frac{{AI'}}{{AM}}\) (Hệ quả của định lí Thalès) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{DI' & }}{{BM}} = \frac{{EI'}}{{CM}}\)\(CM = BM\) (\(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\))

Suy ra \(DI' = EI'\).

Do đó \(I'\) trùng với \(I\).

Suy ra ba điểm \(A,I,M\) thẳng hàng.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho phương trình \(\left( {4m + 3} \right)x + m = 4{m^2} - 3\). Hỏi có bao nhiêu giá trị \(m\) thỏa mãn để \(x = 0\) là nghiệm của phương trình bậc nhất đã cho?

Xem đáp án » 15/02/2025 1,482

Câu 2:

Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}x + 3\) với trục tung là

Xem đáp án » 15/02/2025 869

Câu 3:

Cho hàm số \(\left( d \right):y = 2x\)\(\left( {d'} \right):y = - x + 3\).

a) Tìm giao điểm \(A\) của hai đường thẳng \(\left( d \right)\)\(\left( {d'} \right)\).

b) Gọi giao điểm của \(\left( {d'} \right)\) với trục \(Ox\)\(B\). Tính diện tích tam giác \(AOB\).

Xem đáp án » 15/02/2025 757

Câu 4:

Giải phương trình sau: \(\frac{{x - 1}}{{2015}} + \frac{{x - 3}}{{2013}} = \frac{{x - 5}}{{2011}} + \frac{{x - 7}}{{2009}}\).

Xem đáp án » 15/02/2025 704

Câu 5:

Cho \(\Delta ABC\)\(DE\parallel BC\) với \(D \in AB,E \in AC\). Kẻ \(EF\parallel CD\) \(\left( {E \in AC,F \in AB} \right)\).

 a) \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}}.\)

 b) \(AE.BC = AC.DE\).

 c) \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\).

 d) \(\frac{{EF}}{{BC}} = \frac{{DE}}{{CD}}\).

Xem đáp án » 15/02/2025 590

Câu 6:

Cho hình vẽ bên, biết \(BC\parallel ED\).

Cho hình vẽ bên, biết  BC song song ED.    Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây. (ảnh 1)

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.

Xem đáp án » 15/02/2025 487

Câu 7:

Cho \(\Delta ABC\)\(D,E\) lần lượt là hai điểm nằm trên \(AB\)\(BC\) sao cho \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{CB}}\). Cho các khẳng định sau:

(I). \(DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

(II). \(DE\parallel AC\).

(III). \(\frac{{DB}}{{BA}} = \frac{{DE}}{{AC}} = \frac{1}{2}\).

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Xem đáp án » 15/02/2025 333