Cho \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến \(AM\), đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) cắt \(AB\) ở \(D\), đường phân giác của \(\widehat {AMC}\) cắt \(AC\) ở \(E\).

a) Chứng minh \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AD}}{{BD}}\).

b) Chứng minh \(DE\parallel BC\) và \(AD.AC = AE.AB\).

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(DE\). Chứng minh ba điểm \(A,I,M\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Xét \(\Delta ABM\) có \(MD\) là phân giác của \(\widehat {AMB}\) nên \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác).

b) Xét \(\Delta AMC\) có \(ME\) là phân giác của \(\widehat {AMC}\) nên \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AE}}{{CE}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

Từ phần a) ta có: \(\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AD}}{{BD}}\) nên suy ra \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{CE}}\).

Do đó, \(DE\parallel BC\) (định lí Thalès đảo)

Ta có: \(\Delta ABC\) có \(DE\parallel BC\) nên theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\).

Suy ra \(AD.AC = AE.AB\) (đpcm).

c) Gọi \(I'\) là giao điểm của \(AM\) và \(DE\).

Ta có \(DI'\parallel BM\) suy ra \(\frac{{DI' & }}{{BM}} = \frac{{AI'}}{{AM}}\) (Hệ quả của định lí Thalès) (1)

         \(EI'\parallel CM\) suy ra \(\frac{{EI' & }}{{CM}} = \frac{{AI'}}{{AM}}\) (Hệ quả của định lí Thalès) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{DI' & }}{{BM}} = \frac{{EI'}}{{CM}}\) mà \(CM = BM\) (\(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\))

Suy ra \(DI' = EI'\).

Do đó \(I'\) trùng với \(I\).

Suy ra ba điểm \(A,I,M\) thẳng hàng.