(1,5 điểm) Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right)\), đường cao \(AH\) \(\left( {H \in BC} \right)\).

a) Chứng minh và \(AB.AH = AC.HB.\)

Vì (cmt) suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {HAB}\) (hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta BHA\) và \(\Delta CHA\), có:

\(\widehat {HAB} = \widehat {HCA}\) (cmt) và \(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra (g.g)

Suy ra \(\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{HB}}{{HA}}\) hay \(A{H^2} = BH.CH\).

Có \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\).

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HAC\) có:

\(\widehat {CAB} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (gt)

\(\widehat {ACB}\) chung (gt)

Do đó, (g.g)

Suy ra \(\frac{{AC}}{{CH}} = \frac{{CB}}{{CA}}\) hay \(A{C^2} = CH.CB\).

Lại có \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) nên \(MN = \frac{1}{2}AC\) hay \(AC = 2MN\).

Suy ra \(4M{N^2} = CH.CB\) hay \(\frac{1}{4}CH.CB = M{N^2}\) (đpcm).