Cho hai đa thức \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\) và \(g\left( x \right) = {x^3} - a{x^2} + bx - 3\). Biết rằng nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\) cũng là nghiệm của đa thức \(g\left( x \right)\). Tính tổng của hai hệ số \(a,b\) của đa thức \(g\left( x \right)\).

Đáp án: \( - 4\)

Xét \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\) ta được \(x = 1\) hoặc \(x = - 3\).

Do đó, \(x = 1\) và \(x = - 3\) cũng là nghiệm của đa thức \(g\left( x \right)\).

Thay \(x = 1\) vào \(g\left( x \right)\), ta được: \({1^3} - a{.1^2} + b.1 - 3 = 0\) hay \(b - a = 2\) (1).

Thay \(x = - 3\) vào \(g\left( x \right)\), ta được: \({\left( { - 3} \right)^3} - a.{\left( { - 3} \right)^2} + b.\left( { - 3} \right) - 3 = 0\) hay \(9a + 3b = - 30\)

hay \(3a + b = - 10\) (2).

Từ phương trình (1), ta có: \(b = 2 + a\), thay vào (2) ta được:

\(3a + 2 + a = - 10\) hay \(4a = - 12\) nên \(a = - 3\).

Thay \(a = - 3\) vào \(b = 2 + a\) được \(b = 2 + \left( { - 3} \right) = - 1\).

Vậy ta có: \(a + b = - 1 + \left( { - 3} \right) =  - 4\).