(0,5 điểm) Chứng minh rằng đa thức \(Q\left( x \right) = - {\left( {x - 1} \right)^{22}} - {\left( {x - 2} \right)^{18}} - {\left( {x - 3} \right)^{14}} - 1\) không có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Với mọi giá trị của \(x,\) ta luôn có: \({\left( {x - 1} \right)^{22}} \ge 0;{\rm{ }}{\left( {x - 2} \right)^{18}} \ge 0;{\rm{ }}{\left( {x - 3} \right)^{14}} \ge 0\).

Do đó, \( - {\left( {x - 1} \right)^{22}} \le 0;{\rm{ }} - {\left( {x - 2} \right)^{18}} \le 0;{\rm{ }} - {\left( {x - 3} \right)^{14}} \le 0\).

Suy ra \( - {\left( {x - 1} \right)^{22}} - {\left( {x - 2} \right)^{18}} - {\left( {x - 3} \right)^{14}} - 1 < 0\) hay \(Q\left( x \right) < 0\) với mọi giá trị của \(x.\)

Vậy đa thức \(Q\left( x \right) = - {\left( {x - 1} \right)^{22}} - {\left( {x - 2} \right)^{18}} - {\left( {x - 3} \right)^{14}} - 1\) không có nghiệm.