Cho \[{\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}}&{ - \sin \frac{{\rm{\pi }}}{6}}\\{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6}}&{\cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}}\end{array}} \right],{\rm{X}} = \in {{\rm{M}}_{2 \times 1}}\left[ {\rm{R}} \right]\]. Thực hiện phép nhân AX, ta thấy:

Tổng tất cả các phần tử trên đường chéo gọi là vết của ma trận. Vết của ma trận A^T.A là chuẩn Frobenius của ma trận A. Tìm chuẩn Frobenius của ma trận \[{\rm{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&2&{ - 1}\\2&3&5\\4&1&6\end{array}} \right).\]

Tính hạng của ma trận: \[{\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&2&{ - 1}&2\\2&3&5&3&5\\4&7&7&7&5\\3&3&6&{ - 2}&8\\6&8&{15}&{ - 4}&{ - 8}\end{array}} \right]\]

Cho ma trận A: \[{\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&2\\2&3&{\rm{m}}\\3&4&2\end{array}} \right]\]. Tìm m để hạng của A^-1 bằng 3

Cho \[{\rm{A = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\rm{1}}&{\rm{2}}&{\rm{k}}&{\rm{2}}\\{\rm{2}}&{\rm{3}}&{\rm{1}}&{\rm{k}}\\{\rm{3}}&{\rm{5}}&{{\rm{2k}}}&{\rm{k}}\end{array}} \right]\] với giá trị nào của k thì hạng của ma trận A bằng 3?

Cho \[{\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0&3\\2&3&0&4\\4&{ - 2}&5&6\\{ - 1}&{{\rm{k}} + 1}&4&{{\rm{k}} + 5}\end{array}} \right]\]. Với giá trị nào của k thì \[{\rm{r(A}}) \ge 3\]

Cho ma trận \[{\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}2&6\\0&2\end{array}} \right]\]. Tính A¹⁰⁰.

Cho ma trận \[{\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&1&1\\{ - 3}&1&2\\{ - 2}&1&1\end{array}} \right]\]. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho \[{\rm{r(}}{{\rm{A}}^{\rm{n}}}{\rm{)}} = 0\]