Câu 1-3. (1,5 điểm) Cho biểu thức $\mathrm{N}=\left(\frac{1}{\mathrm{x}+1}+\frac{1}{\mathrm{x}-1}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^2-1}\right)\cdot \frac{\mathrm{x}-1}{2+\mathrm{x}}.$

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(N.\)

b) Với \[x \ne - \,1\,;\,\,x \ne \,1\,;\,\,x \ne - 2\], ta có:

\(N = \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 1}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}}\)

\[ = \frac{1}{{x + 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{1}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}}\]

\[ = \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}} + \frac{1}{{2 + x}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}\]

\[ = \frac{{x - 1 + x + 1 + {x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} + 2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{x}{{x + 1}}.\]

Vậy với \(x \ne - 1,\) \(x \ne 1\) và \(x \ne - 2\) thì \(N = \frac{x}{{x + 1}}.\)

c) Ta có \(\left| x \right| = 2\) suy ra \(x = 2\) (TMĐK) hoặc \(x = - 2\) (không TMĐK).

Thay \(x = 2\) vào biểu thức \(N = \frac{x}{{x + 1}},\) ta được: \(N = \frac{2}{{2 + 1}} = \frac{2}{3}.\)

Vậy \(N = \frac{2}{3}\) khi \(\left| x \right| = 2.\)