(0,5 điểm) Cho \(a,b\) là các số thực không âm thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 1\). Đặt \(P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}}\). Chứng minh rằng: \({\left( {P + 1} \right)^2} \le 2\).
(0,5 điểm) Cho \(a,b\) là các số thực không âm thỏa mãn \({a^2} + {b^2} = 1\). Đặt \(P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}}\). Chứng minh rằng: \({\left( {P + 1} \right)^2} \le 2\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 1 + 2ab\), do đó \(2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - 1\) (do \({a^2} + {b^2} = 1\))
Đặt \(x = a + b\), suy ra \(2ab = {x^2} - 1\).
Mặt khác \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b\)
Suy ra \({a^2} + {b^2} \ge 2ab\) hay \(1 \ge {x^2} - 1\) suy ra \({x^2} \le 2\).
Ta có \(P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = x - 1\).
Do đó, \({\left( {P + 1} \right)^2} = {\left( {x - 1 + 1} \right)^2} = {x^2} \le 2\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = \sqrt {\frac{1}{2}} .\)
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\frac{{\sqrt x }}{{x - 3}}.\)
B. \(\frac{{2x + 1}}{{x - 3}}.\)
C. \(\frac{{2x - 1}}{{x - 3}}.\)
D. \(\frac{x}{{x - 3}}.\)
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Phân thức đại số là một biểu thức có dạng \(\frac{A}{B}\) trong đó \(A,B\) là hai đa thức và đa thức \(B \ne 0\).
Do đó, \(\frac{{\sqrt x }}{{x - 3}}\) không là phân thức đại số.
Lời giải
S
a) Số kết quả thuận lợi cho biến cố “Chiếc bút lấy ra là bút mực xanh” là: \(30 - 10 = 20\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. Hình 1.
B. Hình 2.
C. Hình 3.
D. Hình 4.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo