Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 72 đến 74

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) bằng    

Dựa vào đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\), ta có \(f\left( {\sin x} \right) = 2,5 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = 1}\\{\sin x = a > 3\left( L \right)}\end{array}} \right.\).

Suy ra \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy có 1 nghiệm \(x = \frac{\pi }{2}\) thuộc khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\). Chọn C.

Ta có \(g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} - 6x} \right)f'\left( {{x^3} - 3x + m} \right)\).

Với mọi \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\) ta có \(3{x^2} - 6x > 0\) nên để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Dựa vào đồ thị ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\) nên \(f'\left( x \right) \ge 0\) với \(x \in \left( { - \infty ;1\left] \cup \right[3; + \infty } \right)\).

Do đó: \(f'\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 3{x^2} + m \le 1,\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)}\\{{x^3} - 3{x^2} + m \ge 3,\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le - {x^3} + 3{x^2} + 1,\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)}\\{m \ge - {x^3} + 3{x^2} + 3,\,\,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)}\end{array}} \right.\).

Nhận thấy nên trường hợp \(m \le - {x^3} + 3{x^2} + 1,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\) không xảy ra.

Trường hợp: \(m \ge - {x^3} + 3{x^2} + 3,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\). Ta có hàm số \(h\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 3\) liên tục trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\) và \(h'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x < 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\) nên \(h\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\) suy ra \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {2\,;\, + \infty } \right)} h\left( x \right) = h\left( 2 \right)\).

Do đó $\mathrm{m}\ge -{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2+3,\forall \mathrm{x}\in \left(2;+\mathrm{\infty }\right)\iff \mathrm{m}\ge \underset{\left[2;+\mathrm{\infty }\right)}{\text{max}}\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{h}\left(2\right)=2\iff \mathrm{m}\ge 7$.

Vậy có 2019 số nguyên \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.