Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 87

Trong không gian cho các điểm A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho \(OA = a\,\left( {a > 0} \right),\,OB = a\sqrt 2 ,\,OC = c\left( {c > 0} \right)\). Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC. \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua AM và cắt mặt phẳng \(\left( {OCD} \right)\) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM.

Gọi E là giao điểm của \(\left( P \right)\) với đường thẳng \(OC\), độ dài đoạn thẳng OE là:     

Vì \(\overrightarrow {OE} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \), giao tuyến EF của \(\left( P \right)\) với \(\left( {OCD} \right)\) song song với OD nên \(\overrightarrow {DF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \).

Ta có \(\frac{{{V_{C.AEF}}}}{{{V_{C.AOD}}}} = \frac{{CE}}{{CO}} \cdot \frac{{CF}}{{CD}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}\), \(\frac{{{V_{C.MEF}}}}{{{V_{C.BOD}}}} = \frac{{CM}}{{CB}} \cdot \frac{{CE}}{{CO}} \cdot \frac{{CF}}{{CD}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{9}\).

Vậy \({V_{C.AEMF}} = \left( {\frac{4}{9} + \frac{2}{9}} \right)\frac{1}{2}{V_{C.AOBD}} = \frac{1}{3}{V_{C.AOBD}}\), từ đó \(\frac{{{V_{C.AEMF}}}}{{{V_{AEMFDBO}}}} = \frac{1}{2}\). Chọn D.

Cách 1: Tứ giác lồi AEMF có các đường chéo AM, EF vuông góc với nhau nên có diện tích \({S_{AEMF}} = \frac{1}{2}AM \cdot EF = \frac{1}{2}\sqrt {A{O^2} + O{J^2} + J{M^2}} \cdot \frac{2}{3}OD\) (J là trung điểm của OB)

\( = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{c^2}}}{4}} \cdot \frac{2}{3}\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}a\sqrt {6{a^2} + {c^2}} \).

Vậy khoảng cách điểm C đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(d\left( {C,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{3{V_{C.AEMF}}}}{{{S_{AEMF}}}} = \frac{{{a^2}c\frac{{\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{6}a\sqrt {6{a^2} + {c^2}} }} = \frac{{2ac\sqrt 6 }}{{3\sqrt {6{a^2} + {c^2}} }}\).

Cách 2: Sử dụng công thức tính khoảng cách trong không gian Oxyz, ta tính được khoảng cách từ điểm \(C\left( {0\,;\,0\,;\,c} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(c\sqrt 2 \left( {x - a} \right) - cy + 3a\sqrt 2 z = 0\) là:

\(d\left( {C,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - ac\sqrt 2 + 3ac\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {2{c^2} + {c^2} + 18{a^2}} }} = \frac{{2ac\sqrt 6 }}{{3\sqrt {{c^2} + 6{a^2}} }}\). Chọn C.