Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 87

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 3 \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(CI\). Biết góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \).

Độ dài đoạn thẳng \(SH\) là:     

Ta có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt {21} }}{4} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 7 }}{{16}}\). Chọn A.

Ta có hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\), \(SH = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\) và \(H\left( {0;\frac{3}{4};0} \right)\) nên \(S\left( {0;\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{4}} \right)\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\) nên \(G\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{{12}}} \right)\).

Đường thẳng \(SA\) đi qua điểm \(A\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AS} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{4}} \right)\).

Đường thẳng \(CG\) đi qua điểm \(C\left( {0;\frac{3}{2};0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {CG} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}; - \frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{{12}}} \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt {21} }}{4};0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{3}{2};0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] \cdot \overrightarrow {AC} = - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CG\) là:

\(d\left( {SA,\,CG} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] \cdot \overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right]} \right|}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 7 }}{8}}}{{\frac{{\sqrt {33} }}{4}}} = \frac{{\sqrt {231} }}{{22}}\). Chọn D.