Câu hỏi:

27/04/2025 97

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 85 đến 87

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(\sqrt 3 \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\) của \(CI\). Biết góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(45^\circ \).

Độ dài đoạn thẳng \(SH\) là:

A. \(\frac{{\sqrt {21} }}{2}\).

B. \(\frac{{\sqrt {21} }}{4}\).

C. \(\frac{{\sqrt {21} }}{8}\).

D. \(\sqrt {21} \).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hồ Chí Minh năm 2025 có đáp án (Đề 28) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

c (ảnh 1)

Chọn hệ trục toạ độ \[Ixyz\], với \(I\) là gốc toạ độ; các điểm \(A,\,C\) lần lượt thuộc các tia \(Ix,\,Iy\); trục \(Iz\) song song với \(SH\) và \(S\) có cao độ dương.

\(CI\) là đường cao của tam giác đều \(ABC\) cạnh bằng \(\sqrt 3 \) suy ra \(CI = \sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{3}{2}\).

Khi đó ta có \(I\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\), \(B\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\),

\(C\left( {0;\frac{3}{2};0} \right)\), \(H\left( {0;\frac{3}{4};0} \right)\). Suy ra \(AH = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2} + {0^2}} = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\).

Ta có \(AH\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).

Góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa \(SA\) và \(AH\) và bằng \(\widehat {SAH} = 45^\circ \).

Do đó, tam giác \(SAH\) vuông cân tại \(H\) nên \(SH = AH = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\). Chọn B.

Câu hỏi cùng đoạn

Câu 2:

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng

A. \(\frac{{3\sqrt 7 }}{{16}}\).

B. \(\frac{{9\sqrt 7 }}{{16}}\).

C. \(\frac{{3\sqrt 7 }}{8}\).

D. \(\frac{{9\sqrt 7 }}{8}\).

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Ta có \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt {21} }}{4} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot \sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 7 }}{{16}}\). Chọn A.

Câu 3:

\(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CG\) bằng

A. \(2\sqrt {231} \).

B. \(\sqrt {231} \).

C. \(\frac{{\sqrt {231} }}{{11}}\).

D. \(\frac{{\sqrt {231} }}{{22}}\).

Xem lời giải

Lời giải của GV VietJack

Ta có hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm \(H\), \(SH = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\) và \(H\left( {0;\frac{3}{4};0} \right)\) nên \(S\left( {0;\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{4}} \right)\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(SBC\) nên \(G\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6};\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{{12}}} \right)\).

Đường thẳng \(SA\) đi qua điểm \(A\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AS} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{4}} \right)\).

Đường thẳng \(CG\) đi qua điểm \(C\left( {0;\frac{3}{2};0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {CG} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}; - \frac{3}{4};\frac{{\sqrt {21} }}{{12}}} \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] = \left( {\frac{{\sqrt {21} }}{4};0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{3}{2};0} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] \cdot \overrightarrow {AC} = - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}\).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CG\) là:

\(d\left( {SA,\,CG} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right] \cdot \overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {CG} } \right]} \right|}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 7 }}{8}}}{{\frac{{\sqrt {33} }}{4}}} = \frac{{\sqrt {231} }}{{22}}\). Chọn D.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Nếu trong vườn ươm nói trên, cây vú sữa thấp nhất có chiều cao \(71\,cm\) và cây vú sữa cao nhất có chiều cao \(117\,cm\) thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho lớn hơn khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là:

A. \(0\)cm.

B. \(8\)cm.

C. \(6\)cm.

D. \(4\)cm.

Lời giải

Nếu trong vườn ươm nói trên, cây vú sữa thấp nhất có chiều cao \(71\,cm\) và cây vú sữa cao nhất có chiều cao \(117\,cm\) thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là: \(117 - 71 = 46\) (cm).

Từ biểu đồ, ta có bảng tần số của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Nhóm	\(\left[ {70;80} \right)\)	\(\left[ {80;90} \right)\)	\(\left[ {90;100} \right)\)	\(\left[ {100;110} \right)\)	\(\left[ {110;120} \right)\)
Tần số	9	20	33	25	15