Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SC. Điểm N thuộc cạnh SB sao cho \(\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{2}{3}\). Gọi Q là giao điểm của cạnh SD và mặt phẳng (MNP). Tỷ số \(\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{a}{5}\). Tìm a.

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

Gọi I là giao điểm của SO và MP.

Trong mặt phẳng (SBD), kéo dài NI cắt SD tại Q, cắt BD tại E.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SOB ta có:

\(\frac{{MS}}{{MO}}.\frac{{EO}}{{EB}}.\frac{{NB}}{{NS}} = 1\)\( \Leftrightarrow 1.\frac{{EO}}{{EB}}.\frac{1}{2} = 1\) \( \Rightarrow \frac{{EO}}{{EB}} = 2\)\( \Rightarrow \frac{{ED}}{{EB}} = 3\).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SBD ta có:

\(\frac{{QS}}{{QD}}.\frac{{ED}}{{EB}}.\frac{{NB}}{{NS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{QS}}{{QD}}.3.\frac{1}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{{QS}}{{QD}} = \frac{2}{3}\) Þ \(\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{2}{5}\).

Suy ra a = 2.

Trả lời: 2.