(0,5 điểm) Cho biểu thức \(A = 2 + {21^{23}} + {25^{125}}.\) Chứng minh rằng \(A\) là hợp số.

Hướng dẫn giải

Đáp số: 6.

Ta có:

\(32 < {2^n} < 128\)

\({2^5} < {2^n} < {2^7}\)

\(5 < n < 7\)

Vì \(n \in \mathbb{N}\) nên giá trị duy nhất của \(n\) thỏa mãn là: \(n = 6.\)

Vậy \(n = 6.\)

Hướng dẫn giải

Đáp số: 3.

 Số \(\overline {17ab} \;\) chia hết cho 2 nên b là chữ số chẵn.

Số \(\overline {17ab} \;\) chia 5 thì dư 1 nên \[b\] chỉ có thể là 1 hoặc 6. Kết hợp với \[b\] là chữ số chẵn suy ra \(b = 6\) (thỏa mãn).

Khi đó, số cần tìm là \(\overline {17a6} .\)

Ta có \(\overline {17a6} \,\, \vdots \,\,3\) nên \(\left( {1 + 7 + a + 6} \right)\,\, \vdots \,\,3\;\) hay \(\left( {a + 14} \right)\,\, \vdots \,\,3.\)

Suy ra \(\left( {a + 14} \right) \in \left\{ {0;\,\,3;\,\,6;\,\,9;\,\,12;\,\,15;\,\,18;\,\,21;\,\,24;\,\,...} \right\}\)

Lại có \(0 \le a \le 9\) nên \(14 \le a + 14 \le 23\)

Do đó \(\left( {a + 14} \right) \in \left\{ {15;\,\,18;\,\,21} \right\}\) nên \(a \in \left\{ {1;\,\,4;\,\,7} \right\}.\)

Thử lại: Các số 1716; 1746; 1776 đều chia hết hết cho 2, cho 3 và chia 5 dư 1 (thoả mãn).

Vậy có 3 số cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề bài.