Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}ax + b + 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x > 0\\a\cos x + b\sin x{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} {\rm{ }}khi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \le 0\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi a – b bằng bao nhiêu?

Khi \(x < 0\) thì \(f\left( x \right) = a\cos x + b\sin x\) liên tục với \(x < 0\).

Khi \(x > 0\) thì \(f\left( x \right) = ax + b + 1\) liên tục với mọi \(x > 0\).

Tại \(x = 0\) ta có \(f\left( 0 \right) = a\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\mkern 1mu} \left( {ax + b + 1} \right)\)\( = b + 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\mkern 1mu} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\mkern 1mu} \left( {a\cos x + b\sin x} \right)\)\( = a\).

Để hàm số liên tục tại \(x = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {\mkern 1mu} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\mkern 1mu} f\left( x \right)\)\( = f\left( 0 \right)\)\( \Leftrightarrow a = b + 1\)\( \Leftrightarrow a - b = 1\).

Trả lời: 1.