20 câu trắc nghiệm Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3. Hàm số liên tục (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Hàm số đa thức luôn liên tục trên tập số thực ℝ.

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)\) nên hàm số f(x) không liên tục tại x0.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)\) tồn tại nên \[\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\].

Tại \(x = \frac{1}{2}\), ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - 1}} = 0 = f\left( {\frac{1}{2}} \right)\).

Vậy hàm số liên tục tại \(x = \frac{1}{2}\).

Hàm số \(y = \frac{{3x - 4}}{{x - 2}}\) có tập xác định D = ℝ\{2}. Do đó hàm số gián đoạn tại x = 2.

+) Với x > 2, ta có f(x) = −x2 + x + 3 là hàm đa thức

Þ hàm số f(x) liên tục trên khoảng (2; +∞).

+) Với x < 2, ta có f(x) = 5x + 2 là hàm đa thức Þ hàm số f(x) liên tục trên khoảng (−∞; 2).

+) Tại x = 2.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( { - {x^2} + x + 3} \right) = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {5x + 2} \right) = 12\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\). Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).

Vậy hàm số gián đoạn tại x0 = 2 hay hàm số không liên tục trên ℝ.

Ta có \[f(1) = 2m + 1\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + x + 1) = 3\]

Để hàm số liên tục tại điểm \[{x_0} = 1\]thì \[f(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y \Rightarrow 2m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 1\].

Hàm số liên tục tại \(x =  - 1\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = y\left( { - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {4x + a} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = y\left( { - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4\).