Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}}\;\;khi\;x < - 2\\x + 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge - 2\end{array} \right.\).

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = - 1\).

b) Khi hàm số có giới hạn tại x = −2 thì 3a – b = 12.

c) f(−2) = 1.

d) Khi a = 2, b = 0 hàm số không liên tục tại x = −2.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \left( {x + 1} \right) =  - 1\).

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) =  - 1\) (*)

Đề tồn tại (*) thì 4 – 2a + b = 0 Û b = 2a – 4.

Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{{x^2} + ax + b}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{{x^2} + ax + 2a - 4}}{{{x^2} - 4}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{x + a - 2}}{{x - 2}} = \frac{{a - 4}}{{ - 4}} =  - 1\) Û a = 8 Þ b = 12.

Do đó 3a – b = 12.

c) f(−2) = −2 + 1 = −1.

d) Với a = 2; b = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{{{x^2} + 2x}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \frac{x}{{x - 2}} = \frac{1}{2} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)\).

Do đó hàm số không liên tục.

Đáp án: a) Đúng;    b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.